矩形的判定有几种方法？

⚡ 核心定义回顾

若四边形 ABCD 是平行四边形，且 ∠A = 90°，则四边形 ABCD 是矩形。

矩形的性质包括：对边平行且相等；四个角都是直角；对角线相等且互相平分。

例题 1：利用对角线判定

题目：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于E。求证：四边形ADCE为矩形。

解析：

1. 由 AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形“三线合一”，可知 AD 平分 ∠BAC，即 ∠DAC = 1/2 ∠BAC。
2. 由 AN 平分外角 ∠CAM，可知 ∠MAE = 1/2 ∠CAM。
3. ∵ ∠BAC + ∠CAM = 180°（平角），∴ ∠DAE = ∠DAC + ∠CAE = 1/2(∠BAC + ∠CAM) = 90°。
4. 又 ∵ AD⊥BC，CE⊥AN，∴ ∠ADC = 90°，∠AEC = 90°。
5. 四边形 ADCE 有三个角是直角（∠DAE, ∠ADC, ∠AEC），根据三直角法，四边形 ADCE 是矩形。

例题 2：利用中点四边形判定

题目：顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是什么形状？

解析：

1. 设四边形ABCD对角线AC=BD，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA中点。
2. 根据三角形中位线定理，EF = 1/2 AC, HG = 1/2 AC, EH = 1/2 BD, FG = 1/2 BD。
3. ∵ AC=BD，∴ EF=FG=GH=HE，即四边形EFGH是菱形。
4. 注意：如果原四边形对角线互相垂直，则中点四边形是矩形。如果原四边形对角线相等且垂直，则中点四边形是正方形。