质数定理的三个公式：揭示数论深处的秩序

import math
def prime_count_estimate(x):
    """
    简单演示质数定理的近似效果
    注意：实际计算 π(x) 需要高效的筛法，此处仅为演示公式对比
    """
    # 1. 渐近公式
    asymptotic = x / math.log(x)
    # 2. 对数积分近似 (使用近似积分或scipy.special.li)
    # 这里使用一个简单的数值积分近似 Li(x)
    # Li(x) ≈ x/ln(x) + x/(ln(x))^2 + 2!x/(ln(x))^3 + ...
    li_approx = asymptotic  (1 + 1/math.log(x) + 2/math.log(x)2)
    return asymptotic, li_approx
示例：在 x = 1,000,000 处
x = 1_000_000
asymp, li = prime_count_estimate(x)
actual_pi = 78498  # 已知的实际质数个数
print(f"x = {x}")
print(f"实际 π(x) = {actual_pi}")
print(f"渐近公式 x/ln(x) = {asymp:.2f}")
print(f"对数积分 Li(x) ≈ {li:.2f}")
print(f"渐近公式误差: {abs(actual_pi - asymp)/actual_pi  100:.2f}%")
print(f"Li(x) 误差: {abs(actual_pi - li)/actual_pi  100:.2f}%")