半角模型例题10道题及答案

【解析】
1. 延长CB至G，使BG=DF，连接AG。
2. 易证△ABG ≌ △ADF (SAS)，故AG=AF，∠BAG=∠DAF。
3. ∵ ∠EAF=45°，∴ ∠BAE+∠DAF=45°。
4. ∴ ∠GAE = ∠GAB+∠BAE = ∠DAF+∠BAE = 45° = ∠EAF。
5. 在△AGE和△AFE中，AG=AF，∠GAE=∠FAE，AE=AE。
6. ∴ △AGE ≌ △AFE (SAS)。
7. ∴ GE = EF。又GE = GB+BE = DF+BE。
8. ∴ EF = BE + DF。得证。

【解析】
由例题1结论可知 EF = BE + DF。
△CEF的周长 C = CE + CF + EF
= CE + CF + BE + DF
= (CE + BE) + (CF + DF)
= BC + CD
= 4 + 4 = 8。
结论：△CEF的周长恒等于正方形边长的2倍。

【解析】
设正方形边长为x，则CE = x-2，CF = x-3。
由例题1知 EF = BE + DF = 2 + 3 = 5。
在Rt△CEF中，由勾股定理：CE² + CF² = EF²。
(x-2)² + (x-3)² = 5²
x² - 4x + 4 + x² - 6x + 9 = 25
2x² - 10x - 12 = 0
x² - 5x - 6 = 0
(x-6)(x+1) = 0
∵ x>0，∴ x=6。
答案：正方形边长为6。

【解析】
这是一个常见的误区，实际上∠AEF ≠ ∠AEB。
正确的角度关系是：
由△AGE ≌ △AFE 可知 ∠AEG = ∠AEF。
又 ∵ ∠AEG = ∠AEB (对顶角? 不，G,B,E共线)
实际上，∠AEG 就是 ∠AEB 的补角吗？不是。
让我们重新审视：△ABG ≌ △ADF ⇒ ∠AGB = ∠AFD。
△AGE ≌ △AFE ⇒ ∠AGE = ∠AFE。
∴ ∠AFD = ∠AFE。
同理，∠AEB = ∠AEF。
结论：AE平分∠BEF，AF平分∠DFE。

【解析】
设BE=x, DF=y。则CE=1-x, CF=1-y。
由例题3推导可知 (1-x)² + (1-y)² = (x+y)²。
化简得：1 - 2x + x² + 1 - 2y + y² = x² + 2xy + y²
2 - 2x - 2y = 2xy ⇒ 1 - x - y = xy ⇒ y = (1-x)/(1+x)。
S_△CEF = 1/2 (1-x)(1-y) = 1/2 (1-x) (1 - (1-x)/(1+x))
= 1/2 (1-x) (2x/(1+x)) = x(1-x)/(1+x)。
令f(x) = (x-x²)/(1+x)，求导或换元可得最小值。
当x→0或x→1时，面积→0。但在几何约束下，需考虑定义域。
实际上，当E、F趋近于C点时，面积趋近于0。但通常题目限制E,F不重合顶点。
若考虑极值，利用基本不等式或函数性质，最小值趋近于 3 - 2√2 (当BE=DF时对称位置? 不，对称位置是最大值还是最小值需验证)。
修正：当BE=DF时，x=y，2x²+2x-1=0? 不。对称时x=y，则(1-x)²+(1-x)²=(2x)² ⇒ 2(1-x)²=4x² ⇒ (1-x)²=2x² ⇒ 1-x=√2x ⇒ x=1/(1+√2)=√2-1。
此时S = 1/2 (2-√2)² = 3 - 2√2 ≈ 0.17。
这是极值点。

【解析】
考察点A、E、C、F。
∠B = ∠D = 90°。
由例题4知 ∠AEB = ∠AEF，∠AFD = ∠AFE。
实际上，更常见的共圆结论是：
若延长CB至G使BG=DF，则A、G、E、F构成的三角形中...
正确结论：在正方形ABCD中，若∠EAF=45°，则点A到EF的距离等于正方形边长。
证明：作AM⊥EF于M。由△ABE≌△AME (HL? 不，需证)。
由△AGE≌△AFE，AM是△AFE的高，AB是△AGE的高（延长线）。
因全等，对应高相等，故AM=AB=AD。
应用：这常用于求点到直线的距离。