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在初中及高中几何学习中，割线定理是解决圆的切线、割线长度关系的重要工具。它不仅是独立考点，更是解决相似三角形、圆内接四边形问题的关键钥匙。
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。简单来说，就是“全割线 × 外割线 = 常数”。
设P为圆外一点，直线PAB和PCD分别交圆于A、B和C、D四点。
PA × PB = PC × PD
注：PA、PC为外段长，PB、PD为全段长。
| 定理名称 | 几何情境 | 公式表达 | 相互关系 |
|---|---|---|---|
| 相交弦定理 | 点P在圆内 | PA × PB = PC × PD | 割线定理的极限情况（P移至圆内） |
| 割线定理 | 点P在圆外，引两条割线 | PA × PB = PC × PD | 通用形式，涵盖切割线 |
| 切割线定理 | 点P在圆外，引一条割线和一条切线 | PT² = PA × PB | 割线定理的特例（B与T重合） |
为了帮助同学们更好地掌握割线定理例题的解法，我们按照难度和题型进行了分类。请点击下方选项卡查看不同类型的典型例题。
题目：如图，P是⊙O外一点，PAB和PCD是⊙O的两条割线，且PAB经过圆心O。已知PA=2，PC=3，CD=5，求PB的长。
题目：已知⊙O中，弦AB与CD相交于点P（在圆内），延长BA至M，DC至N，使得MA=ND。求证：MP=NP。
题目：在半径为5的⊙O中，弦AB=8，C为优弧AB上一动点，AC的延长线与过B点的切线交于点D。求AD的最小值。
理解证明过程比死记硬背公式更重要。以下是割线定理的标准几何证明步骤。
连接圆上的交点A、C和B、D。我们需要构造两个三角形：△PAC 和 △PDB。
观察四边形ABDC，它是圆内接四边形。根据圆内接四边形的性质，外角等于内对角。即 ∠PAC = ∠D （或者更直接地，利用圆周角定理：∠A和∠D都对着弧BC，所以∠A=∠D？不，∠A对着弧BC，∠D对着弧BC，是的，∠CAB = ∠CDB）。
更正：连接AD, BC。在△PAD和△PCB中：
1. ∠P 是公共角。
2. ∠D 和 ∠B 都对着弧AC，所以 ∠D = ∠B。
因此，△PAD ∽ △PCB。
由相似三角形性质可得：PA / PC = PD / PB。
交叉相乘得到：PA × PB = PC × PD。证毕。
在掌握了割线定理例题后，很多同学会拓展学习到以下相关知识点，这些内容在考试中经常组合出现。
割线定理、相交弦定理、切割线定理可以统一为圆幂定理。点P对圆O的幂定义为 d² - r²（d为OP距离，r为半径）。无论P在圆内还是圆外，过P的弦被P分成的两段之积的绝对值恒等于 |d² - r²|。
在解决复杂的圆内接四边形问题时，托勒密定理（对边乘积之和等于对角线乘积）常与割线定理结合使用，特别是在处理四点共圆证明线段比例时。
当割线与三角形结合时，梅涅劳斯定理是处理线段比例问题的利器。它常与割线定理一起出现在几何证明题的最后一问，用于证明三点共线或线段比例关系。
在部分省份的高考数学中，割线定理通常不作为直接考点，但它是解决解析几何中圆相关问题或几何证明选讲（如新课标选修内容）的重要工具。在中考中，它是高频考点，常结合相似三角形考察。
如果两条割线平行，即AB // CD，则弧AC = 弧BD。此时四边形ABDC是等腰梯形。根据割线定理，PA=PC，PB=PD，图形呈现轴对称性。
看到“圆外一点”、“两条直线与圆相交”、“求线段长度或比例”这三个关键词同时出现时，优先考虑割线定理。如果涉及切线，则优先考虑切割线定理。