空间向量综合运用：立体几何的代数化革命

例题：正四棱锥中的向量应用

题目描述： 如图，在正四棱锥 P-ABCD 中，底面边长为 2，侧棱长为 3。求：

1. 平面 PAB 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值；
2. 点 C 到平面 PAB 的距离。

解析步骤：

第一步：建立坐标系。

取底面中心 O 为原点，OA, OB 所在直线为 x, y 轴？不，更方便的是以底面中心 O 为原点，平行于 AB, BC 的直线为 x, y 轴，OP 为 z 轴。

由于底面是正方形，边长 2，则 A(1, -1, 0), B(1, 1, 0), C(-1, 1, 0), D(-1, -1, 0)。

求 P 点坐标：底面中心 O(0,0,0)。OB = √2。在 Rt△POB 中，PB=3, OB=√2，则 PO = √(9-2) = √7。所以 P(0, 0, √7)。

第二步：求解问题（1）。

平面 ABCD 的法向量显然为 n1 = (0, 0, 1)。

求平面 PAB 的法向量 n2。A(1, -1, 0), B(1, 1, 0), P(0, 0, √7)。

向量 AB = (0, 2, 0)，向量 AP = (-1, 1, √7)。

设 n2 = (x, y, z)。

n2·AB = 2y = 0 → y = 0
n2·AP = -x + y + √7z = 0 → -x + √7z = 0 → x = √7z
令 z = 1，则 x = √7, y = 0。
所以 n2 = (√7, 0, 1)。

计算夹角余弦：

cos = (n1·n2) / (|n1||n2|) = 1 / (1  √(7+1)) = 1/√8 = √2/4。

观察图形，二面角 P-AB-C 显然为锐角（P 在上方，C 在下方，但我们要找的是平面 PAB 与底面的夹角，通常指内部角，这里需根据法向量方向判断。n1 向上，n2 指向外上方，夹角为锐角，故二面角余弦值为 √2/4）。

第三步：求解问题（2）。

点 C(-1, 1, 0) 到平面 PAB 的距离。

取平面 PAB 上一点 A(1, -1, 0)。

向量 AC = (-2, 2, 0)。

平面 PAB 法向量 n2 = (√7, 0, 1)。

d = |AC·n2| / |n2| = |(-2)√7 + 20 + 01| / √8 = |-2√7| / (2√2) = √7 / √2 = √14 / 2。

答案： (1) √2/4； (2) √14/2。