什么叫做三垂线定理？

函数 证明 PC 垂直于 BD (底面ABCD为正方形, PD垂直底面):
    1. 观察底面 ABCD 为正方形
       则 对角线 AC ⊥ BD
    2. 分析 PD 与底面关系
       因为 PD ⊥ 平面 ABCD
       且 BD 在平面 ABCD 内
       所以 PD ⊥ BD
    3. 综合垂直关系
       因为 BD ⊥ AC, BD ⊥ PD
       且 AC 与 PD 相交于点 (需辅助线或投影)
       更优路径：使用三垂线定理

斜线: PC
平面: ABCD
垂线: PD
射影: AC (因为 PD⊥面ABCD, C在面上, P投影为D... 等等, P投影是D, 所以PC在底面的射影是DC? 不对。

       修正路径：

我们要证 PC ⊥ BD。
找 PC 在底面 ABCD 的射影。
因为 PD ⊥ 底面 ABCD，所以 D 是 P 的垂足。
所以 PC 在底面 ABCD 上的射影是 DC。

       等等，正方形对角线 BD 与边 DC 不垂直！
       这说明直接看 PC 的射影 DC 不行。
       重新寻找：

考虑 PB 的射影？不，是 PC。
让我们换个角度。
要证 PC ⊥ BD。
已知 BD ⊥ AC (正方形性质)。
已知 BD ⊥ PD (因为 PD⊥面ABCD)。
所以 BD ⊥ 平面 PAC (因为 AC∩PD=O? 不，PD和AC不相交，PD和AC在平面PAC内吗？P,D,A,C共面吗？不。

       正确逻辑：
       1. PD ⊥ 面 ABCD ⇒ PD ⊥ BD
       2. ABCD 是正方形 ⇒ AC ⊥ BD
       3. PD ∩ AC = ? 不相交。
       让我们使用三垂线定理的标准形式：
       要证：PC ⊥ BD
       平面：ABCD
       斜线：PC
       垂线：PD
       射影：DC ? 不，P在面上的投影是D。所以PC的射影是DC。
       BD 与 DC 垂直吗？不垂直。
       啊，题目是求证 PC ⊥ BD 吗？
       如果是正四棱锥 P-ABCD (P在中心上方)，则 PC 不垂直 BD。
       如果是 PD⊥底面，则 PC 在底面射影是 DC。BD 与 DC 夹角45度。
       所以 PC 与 BD 不垂直。
       题目应该是求证：BD ⊥ 平面 PAC ?
       或者求证：PB ⊥ AC ?
       让我们换一个绝对正确的例子。
       【修正例题】
       已知：PA ⊥ 平面 ABCD，ABCD 为矩形。
       求证：PC ⊥ BD ? (不一定)
       求证：PB ⊥ AC ? (不一定)
       【正确例题】
       已知：PO ⊥ 平面 α，A 在 α 内，OA ⊥ a (a在α内)。
       求证：PA ⊥ a。
       让我们写一个几何体例题：
       四棱锥 P-ABCD，PD⊥底面ABCD，底面是正方形。
       求证：PC ⊥ BC ?
       1. PD ⊥ 面 ABCD ⇒ PD ⊥ BC
       2. ABCD 正方形 ⇒ DC ⊥ BC
       3. PD ∩ DC = D
       4. 所以 BC ⊥ 平面 PDC
       5. 所以 BC ⊥ PC
       这个可以用三垂线定理看吗？
       看直线 BC 和斜线 PC。
       平面 ABCD。
       垂线 PD。
       斜线 PC 的射影是 DC。
       平面内直线 BC。
       因为 BC ⊥ DC (射影)，且 BC ⊂ 平面 ABCD。
       根据三垂线定理，BC ⊥ PC。
       证毕。