4.1 卡瓦列里原理 vs 祖暅定理
虽然两者在数学上等价，但在高中数学公式的应用场景中，祖暅定理更强调几何直观和截面面积的函数关系。卡瓦列里原理在西方微积分发展史中地位更重要，常用于引入积分概念。
4.2 球体体积公式的推导细节
这是祖暅定理最著名的应用。推导过程如下：
- 构造一个底面半径为R，高为R的圆柱。
- 从圆柱中挖去一个底面半径为R，高为R的圆锥，顶点在圆柱上底面中心。
- 在高度h处，圆柱截面面积为 πR²，圆锥截面面积为 πh²。
- 剩余部分截面面积为 π(R² - h²)。
- 比较半球体：在高度h处，半球截面半径为 √(R² - h²)，面积为 π(R² - h²)。
- 两者截面面积相等，故半球体积 = 圆柱体积 - 圆锥体积 = πR³ - (1/3)πR³ = (2/3)πR³。
- 球体积 = 2 半球体积 = (4/3)πR³。
4.3 锥体体积公式的统一性
利用祖暅定理，可以统一推导棱锥和圆锥的体积公式。无论底面是多边形还是圆形，只要底面积为S，高为H，其体积均为 V = (1/3)SH。这是因为所有同底等高的锥体，在任意等高处的截面面积都与底面积成平方比例关系，且比例系数相同。