圆的切线有关的中考数学真题讲解

例题2：（2023•某某省）PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C。

问题：若PA=4，PC=2，求⊙O的半径。

【解析】

1. 分析：涉及两条切线PA、PB，直接联想切线长定理。PA=PB，OP平分∠APB，且OP垂直平分AB。

2. 计算步骤：

• 连接OA。∵ PA是切线，∴ ∠OAP=90°。
• 设半径为r，则OA=r，OP=OC+CP=OC+2。注意：此题通常利用相似或勾股。
• 更简便的方法：利用△PAC∽△POA（需证明∠PAC=∠POA，或通过切割线定理推论）。
• 或者：在Rt△OAP中，OA² + PA² = OP²。这里需要求出OP或OC。
• 修正思路：利用切线长定理推论，AB⊥OP。在Rt△PAC中，AC² = PA² - PC² = 16 - 4 = 12，AC=2√3。
• 在Rt△OAC中，设半径为r，OC=OP-PC。此路较繁。
• 最佳路径：利用射影定理或相似。△PCA ∽ △PAO（∠P公共，∠PCA=∠PAO=90°? 不对，∠PAO=90°，∠PCA不一定是90°，但AB⊥OP，所以∠PCA=90°是成立的如果C是垂足。题目说交AB于C，由对称性知AB⊥OP，故∠PCA=90°）。
• ∵ ∠PCA = ∠PAO = 90°，∠P = ∠P，∴ △PCA ∽ △PAO。
• ∴ PA/PO = PC/PA ⇒ PA² = PC • PO。
• 16 = 2 • PO ⇒ PO = 8。
• 在Rt△OAP中，OA = √(PO² - PA²) = √(64 - 16) = √48 = 4√3。

【答案】 4√3

例题3：（2024•某某市压轴题）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至D，使CD=BC，连接AD，过C作CE⊥AD于E。

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若AB=4，∠D=30°，求CE的长。

【解析】

（1）证明：

• 连接OC。∵ AB是直径，∴ ∠ACB=90°，即AC⊥BC。
• ∵ CD=BC，∴ AC是线段BD的垂直平分线，∴ AB=AD。
• ∴ ∠B = ∠D。
• ∵ OB=OC，∴ ∠B = ∠OCB。
• ∴ ∠OCB = ∠D。
• ∴ OC // AD（同位角相等）。
• ∵ CE⊥AD，∴ CE⊥OC。
• ∵ OC是半径，∴ CE是⊙O的切线。

（2）计算：

• ∵ AB=4，∴ OC=2。
• ∵ ∠D=30°，∴ ∠B=30°，∠BAC=60°。
• ∴ △ABC是含30°角的直角三角形，AC = AB/2 = 2。
• 在Rt△ACE中，∵ OC // AD，∴ ∠ACE = ∠OCE - ∠OCA = 90° - 60° = 30°? 不对。
• ∠CAD = ∠B = 30°（因为AB=AD）。或者直接由平行线性质，∠OCE=90°，∠ACE = 90° - ∠ACO = 90° - 60° = 30°。
• 在Rt△ACE中，AC=2，∠CAE=30°（因为∠D=30°, AD=AB, ∠B=30, ∠BAD=120, ∠CAD=60? 不对。AB=AD, ∠B=∠D=30, ∠BAD=120. AC平分∠BAD? 是的，等腰三角形三线合一。∠CAD=60°）。
• 修正：∠CAD = 60°。在Rt△ACE中，∠CAE=60°，AC=2。
• CE = AC • sin60° = 2 • (√3/2) = √3。

【答案】 √3