在抽象代数的宏大建筑中，凯莱定理（Cayley's Theorem）占据着基石般的地位。该定理由英国数学家阿瑟·凯莱（Arthur Cayley）于1854年提出，它揭示了一个深刻而优美的事实：任何群都同构于某个置换群。
这意味着，无论一个群的定义多么抽象，其元素间的运算关系多么复杂，我们总可以通过研究这些元素作为“置换”（即集合到自身的双射）的作用，来完全理解该群的结构。这一结论将抽象的代数结构与具体的组合数学联系了起来，是群论中最基本且最重要的定理之一。
核心结论
任意群 G 同构于其自身元素集上的对称群 S_G 的一个子群。
数学表达
其中 φ 是从 G 到 S_G 的单同态。
历史意义
首次建立了抽象群与置换群的等价关系，奠定了现代群论的基础。
为了深入理解 凯莱定理证明 的逻辑链条，我们需要从定义左正则表示开始，逐步构建同态映射，并验证其单射性。以下是严谨的数学推导过程。
1. 前置定义：左正则表示
设 G 是一个群，其单位元为 e。对于 G 中的任意元素 a，我们定义一个映射 λ_a: G → G，称为左乘映射（或左平移）：
我们需要首先证明，对于任意 a ∈ G，λ_a 确实是 G 上的一个置换（即双射）：
- 单射性： 若 λ_a(x) = λ_a(y)，则 a·x = a·y。根据群的消去律，两边左乘 a⁻¹，可得 x = y。因此 λ_a 是单射。
- 满射性： 对于任意 y ∈ G，我们需要找到 x ∈ G 使得 λ_a(x) = y。取 x = a⁻¹·y，则 λ_a(a⁻¹·y) = a·(a⁻¹·y) = (a·a⁻¹)·y = e·y = y。因此 λ_a 是满射。
既然 λ_a 既是单射又是满射，那么 λ_a ∈ S_G（G 上的对称群）。
2. 构建同态映射
现在，我们定义一个映射 φ: G → S_G，规则如下：
我们要证明 φ 是一个群同态。即对于任意 a, b ∈ G，需验证 φ(ab) = φ(a)φ(b)。
对于任意 x ∈ G：
- 左边：φ(ab)(x) = λ_{ab}(x) = (ab)·x
- 右边：(φ(a)φ(b))(x) = (λ_a ∘ λ_b)(x) = λ_a(λ_b(x)) = λ_a(b·x) = a·(b·x)
根据群运算的结合律，(ab)·x = a·(b·x)。因此，φ(ab) = φ(a)φ(b)，φ 是 G 到 S_G 的同态映射。
3. 验证单射性（核为平凡子群）
要证明 G 同构于 φ(G)，只需证明 φ 是单射。这等价于证明 ker(φ) = {e}。
设 a ∈ ker(φ)，则 φ(a) 是 S_G 中的单位元，即恒等置换 id_G。
这意味着对于所有 x ∈ G，φ(a)(x) = x，即 λ_a(x) = x。
特别地，取 x = e（单位元），则有：
同时 λ_a(e) = e，因此 a = e。这证明了 ker(φ) 仅包含单位元 e，故 φ 是单射。
4. 结论
由于 φ: G → S_G 是单同态，根据群同态基本定理，G 同构于其像 φ(G)。而 φ(G) 是 S_G 的子群。因此，任意群 G 同构于对称群 S_G 的一个子群。凯莱定理证明 完毕。
实例：整数模4加法群 Z_4
考虑群 G = Z_4 = {0, 1, 2, 3}，运算为模4加法。
根据凯莱定理，G 同构于 S_4 的一个4阶子群。让我们构造左正则表示：
- λ_0 = (0)(1)(2)(3) —— 恒等置换
- λ_1: 0→1, 1→2, 2→3, 3→0 ⇒ (0 1 2 3)
- λ_2: 0→2, 1→3, 2→0, 3→1 ⇒ (0 2)(1 3)
- λ_3: 0→3, 1→0, 2→1, 3→2 ⇒ (0 3 2 1)
这四个置换构成了 S_4 中的一个循环子群，同构于 Z_4。这直观地展示了抽象加法如何转化为具体的循环置换。
实例：整数加法群 Z
考虑无限群 G = (Z, +)。
对于任意整数 n，左乘映射 λ_n(k) = n + k。
在 S_Z（所有整数集上的置换群）中，λ_n 是一个“平移”操作。例如，λ_1 将每个整数 k 映射为 k+1。
凯莱定理告诉我们，整数加法群可以看作是整数集上所有平移置换构成的子群。虽然 S_Z 极其庞大，但 Z 仅占据了其中“平移”这一小部分结构。
凯莱定理的历史背景
阿瑟·凯莱在其论文《On the Theory of Groups, as depending on the Symbolic Equation θ^n = 1》中首次提出该定理。当时他旨在将群的概念从置换群扩展到更一般的代数系统。
随着李群和连续群理论的发展，数学家们开始关注有限群的结构。凯莱定理为分类有限群提供了理论依据。
在计算机科学和晶体学中，凯莱定理被用于对称性分析和算法设计，证明了其广泛的实用价值。
单射性保证了群 G 中的不同元素在映射到置换群 S_G 后仍然保持不同。如果映射不是单射，不同的群元素可能会被“压缩”成同一个置换，从而丢失群的结构信息。只有单射（同构于子群），我们才能说 G 的结构被完整保留在了 S_G 中。
对于有限群，证明完全构造性，不依赖选择公理。对于无限群，虽然 S_G 的存在性需要集合论支持，但左正则表示的构造本身是显式的（λ_g(x)=gx），因此通常认为该定理在标准 ZFC 集合论中是基础性的，无需额外的强选择公理假设即可理解其核心逻辑。
步骤如下：1. 列出群 G 的所有元素 {g1, g2, ..., gn}。2. 对每个 gi，计算其左乘对其他所有元素 gj 的作用结果。3. 将这些作用写成置换的轮换形式或矩阵形式。4. 这些置换构成的集合即为 S_n 中同构于 G 的子群。
完全适用。凯莱定理对阿贝尔群（交换群）和非阿贝尔群（非交换群）均成立。例如，四元数群 Q8 是非交换群，它同样同构于 S_8 的一个子群。证明过程中仅使用了群的结合律和消去律，未涉及交换律。