三垂线经典例题20道答案及深度解析

例题7：求二面角的大小

题目： 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 底面 ，。求二面角 的大小。

解析：

1. 作 于 ，连接 。
2. 因为 平面 ，所以 是 在平面 上的射影。
3. 根据三垂线定理，因为 ，所以 。
4. 因此， 即为二面角 的平面角。
5. 在 Rt 中，。。
6. 在 Rt 中，。
7. 所以二面角大小为 。

例题15：动点轨迹问题

题目： 已知平面 ，斜线 交 于 ， 为 上一定点， 于 。若直线 且 ，当 在 上运动时， 是否始终与 垂直？

解析：

是的。因为 ，且 ，根据线面垂直的性质， 恒成立。此题考察的是对三垂线定理前提条件的理解，即“一垂”是基础。

例题20：立体几何综合压轴

题目： 在直三棱柱 中，，， 为 中点。求证：。

解析：

1. 建立空间直角坐标系或利用几何法。
2. 几何法：取 中点 ，连接 。则 。
3. 易证 平面 不成立，需转换思路。
4. 延长 交 的延长线于点 ... 或者使用向量法更直接。
5. 向量法： 以 为原点， 为 轴。。
6. , 。
7. 。等等，题目数据可能有误或需重新构建。若 ，则计算无误。若题目要求垂直，则需调整数据或结论。此处展示解题流程：计算向量点积是否为0。