从几何基础到竞赛难题，全方位解析三角形角平分线的定义、定理、计算公式及解题策略。掌握这一核心几何工具，打通平面几何任督二脉。
在几何学中，三角形角平分线是指三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。简单来说，就是将三角形的一个角平均分成两个相等角的线段。
如图，在△ABC中，若射线AD平分∠BAC，且交BC于点D，则线段AD称为△ABC的角平分线。此时，∠BAD = ∠CAD = 1/2 ∠BAC。
三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心（Incenter）。内心到三角形三边的距离相等，它是三角形内切圆的圆心。
注意区分“角平分线”与“角平分线所在的直线”。在三角形中，通常指线段；而在几何证明中，有时也涉及外角平分线或延长线。
这是解决与三角形角平分线相关比例问题最核心的工具。许多几何难题的突破口就在于识别并应用这一定理。
三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段，与这个角的两边对应成比例。
若 AD 是 △ABC 中 ∠A 的平分线，则：
BD / CD = AB / AC
或者写作：AB / BD = AC / CD
如果点D在边BC上，且满足 BD/CD = AB/AC，那么AD平分∠BAC。这一定理在判定角平分线时非常有用，尤其是在已知线段比例的情况下。
已知三角形两边长及第三边被分成的某一段长度，利用比例关系可快速求出另一段长度。例如：AB=6, AC=4, BD=3, 求CD。
在复杂几何图形中，当出现角平分线时，优先考虑是否可以转化为线段比例，进而结合相似三角形进行证明。
由于角平分线分对边成比例，且分得的两三角形高相等，故面积比 S△ABD / S△ACD = BD / CD = AB / AC。
理解证明过程有助于灵活运用。以下介绍两种最经典的证明方法：面积法和平行线法。
思路：利用三角形面积公式 S = 1/2 a b sinC，结合角平分线定义。
1. 设 AD 平分 ∠BAC，令 ∠BAD = ∠CAD = α。
2. 计算 S△ABD = 1/2 AB AD sinα。
3. 计算 S△ACD = 1/2 AC AD sinα。
4. 同时，以 BC 为底，设 h 为 A 到 BC 的距离（注意：这里更直观的是以 AD 为公共边，或者利用高之比）。更严谨的面积法如下：
作 DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F。由角平分线性质知 DE=DF。
S△ABD = 1/2 AB DE
S△ACD = 1/2 AC DF
所以 S△ABD / S△ACD = AB / AC。
另一方面，S△ABD / S△ACD = BD / CD （等高三角形面积比等于底边比）。
故 BD / CD = AB / AC。证毕。
思路：过点C作CE∥AB，交AD延长线于E。
1. 因为 CE∥AB，所以 ∠BAD = ∠E（内错角相等）。
2. 因为 AD 平分 ∠BAC，所以 ∠BAD = ∠CAD。
3. 从而 ∠CAD = ∠E，故 △ACE 为等腰三角形，AC = CE。
4. 由 CE∥AB，可得 △ABD ∽ △ECD。
5. 所以 BD / CD = AB / CE。
6. 代入 CE = AC，得 BD / CD = AB / AC。证毕。
思路：直接利用正弦定理在两个小三角形中建立关系。
1. 在 △ABD 中，由正弦定理：BD / sin∠BAD = AB / sin∠ADB。
2. 在 △ACD 中，由正弦定理：CD / sin∠CAD = AC / sin∠ADC。
3. 因为 ∠BAD = ∠CAD，且 sin∠ADB = sin(180° - ∠ADC) = sin∠ADC。
4. 两式相除：(BD / CD) (sin∠CAD / sin∠BAD) = (AB / AC) (sin∠ADC / sin∠ADB)。
5. 化简得：BD / CD = AB / AC。证毕。
掌握理论后，通过典型例题巩固是提升关键。以下是网友最常搜索的几类题型。
题目：在△ABC中，AB=10，AC=6，AD是角平分线，求BD:CD的值。
解析：直接应用角平分线定理。BD/CD = AB/AC = 10/6 = 5/3。答案简单直接，考查定理识记。
题目：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，若AE=4，EB=2，求AC。
解析：
1. DE∥AC ⇒ ∠EDA = ∠DAC。
2. AD平分∠BAC ⇒ ∠BAD = ∠DAC。
3. 故 ∠EDA = ∠BAD ⇒ AE = ED = 4。
4. △BDE ∽ △BAC ⇒ BE/BA = ED/AC。
5. 2 / (2+4) = 4 / AC ⇒ 2/6 = 4/AC ⇒ AC = 12。
知识点：三角形一个内角的平分线与它相邻的外角的平分线相交于一点，该点到三角形三边所在直线的距离相等（旁心）。
外角平分线定理：若AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC延长线于D，则 BD/CD = AB/AC。
除了基础的角平分线性质，用户在搜索时往往还会关注与之紧密相关的几何概念和公式。以下整理了高频关联知识。
在等腰三角形中，顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。这是判定等腰三角形和证明线段垂直、相等的重要依据。若已知三角形一边上的中线也是该边对角的平分线，则该三角形为等腰三角形。
设三角形面积为S，半周长为p，内切圆半径为r。则 S = p r。角平分线交点（内心）到三边距离均为r。在直角三角形中，r = (a+b-c)/2，其中a,b为直角边，c为斜边。
若AD为∠A的平分线，长度为t_a。则 t_a² = AB·AC - BD·CD。这是一个非常有用的代数计算工具，避免了角度计算的繁琐。
三角形两条外角平分线和一条内角平分线交于一点，称为旁心。旁心到三边所在直线的距离相等，是旁切圆的圆心。每个三角形有三个旁心。
| 名称 | 公式/关系式 | 适用条件 |
|---|---|---|
| 角平分线定理 | BD/CD = AB/AC | 任意三角形 |
| 内角平分线长 | t_a = 2bc/(b+c) cos(A/2) | 已知两边及夹角 |
| 内角平分线长(斯图尔特) | t_a² = bc(1 - (a/(b+c))²) | 已知三边 |
| 外角平分线定理 | BD/CD = AB/AC (D在BC延长线上) | 任意三角形 |
| 内心到顶点距离 | AI = r / sin(A/2) | r为内切圆半径 |
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A: 不，角平分线定理适用于任意三角形。但在等腰三角形中，由于两腰相等，定理会简化为底边被平分（即中线），这与“三线合一”性质是一致的。
A: 如果题目明确给出或隐含了角平分线，且涉及线段比例，优先尝试角平分线定理。如果图形结构复杂，角平分线只是辅助线的一部分，可能需要结合相似三角形构造比例式。
A: 内角平分线分对边为内分点，外角平分线分对边为外分点。两者比例关系形式相同（BD/CD = AB/AC），但点D的位置不同：内分点在边上，外分点在边的延长线上。
A: 常用尺规作图法：以顶点为圆心画弧交两边于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点距离一半为半径画弧，两弧交点与顶点连线即为角平分线。
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