【例题1】证明方程 x³ - 4x² + 1 = 0 在区间 (0, 1) 内至少有一个实根。
解题步骤：
1. 构造辅助函数：令 f(x) = x³ - 4x² + 1。
2. 验证连续性：因为 f(x) 是多项式函数，所以在闭区间 [0, 1] 上连续。
3. 计算端点值：
- f(0) = 0³ - 4(0)² + 1 = 1 > 0
- f(1) = 1³ - 4(1)² + 1 = 1 - 4 + 1 = -2 < 0
4. 应用定理：由于 f(0) > 0 且 f(1) < 0，根据零点存在性定理（介值定理的特例），在 (0, 1) 内至少存在一点 ξ，使得 f(ξ) = 0。
结论：原方程在 (0, 1) 内至少有一个实根。
【例题2】已知连续函数 f(x) 在 [0, 2] 上满足 f(0)=1, f(2)=5，证明存在 ξ ∈ (0, 2) 使得 f(ξ) = 3。
解析：
这是介值定理最直接的运用。因为 f(x) 在 [0, 2] 上连续，且 1 < 3 < 5，即 f(0) < 3 < f(2)。根据介值定理，必然存在 ξ ∈ (0, 2) 使得 f(ξ) = μ，其中 μ = 3。这一定理保证了函数图像不会“跳跃”过 y=3 这条线。
【例题3】“理发师定理”的数学本质
问题：假设地球是一个完美的球体，且在地球表面存在一条纬线，使得该纬线上至少有一对对跖点（关于地心对称的点）温度相同。请用介值定理证明。
证明：
设 T(θ) 为纬度线上角度 θ 处的温度。定义辅助函数 g(θ) = T(θ) - T(θ + π)。由于温度变化是连续的，g(θ) 也是连续函数。
考虑 g(θ) 在 [0, π] 上的值。若 g(0) = 0，则 θ=0 处温度相同，得证。若 g(0) ≠ 0，不妨设 g(0) > 0，则 T(0) > T(π)。此时 g(π) = T(π) - T(2π) = T(π) - T(0) = -g(0) < 0。
因为 g(0) > 0 且 g(π) < 0，由零点存在性定理，存在 ξ ∈ (0, π) 使得 g(ξ) = 0，即 T(ξ) = T(ξ + π)。证毕。