1736年
欧拉发表《柯尼斯堡的七座桥》，标志着图论的诞生，解决了欧拉路径问题。
探索数学史上最优雅的定理之一，连接几何、代数与分析的桥梁。从多面体的顶点到复平面的旋转，全方位解析欧拉定理的核心奥秘。
“欧拉定理”并非指代单一的公式，而是数学巨匠莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在多个领域留下的深刻印记。在网民搜索和学术研究中，主要涉及以下四大板块：
关于多边形内角和与外角和的性质，是初中数学的基础基石，揭示了边数与角度之间的线性关系。
即著名的欧拉多面体公式 V - E + F = 2，描述了凸多面体的顶点、棱和面之间的拓扑不变量关系。
被誉为“最美数学公式” e^(iπ) + 1 = 0，建立了指数函数与三角函数之间的深刻联系，是分析学的核心。
关于同余式的定理 a^φ(n) ≡ 1 (mod n)，是现代密码学RSA算法的理论基础。
注：本文重点围绕几何与分析领域的欧拉定理进行深度总结，兼顾数论基础。
在平面几何中，我们通常讨论的是多边形内角和定理，这有时也被通俗地称为欧拉定理在平面几何中的体现（尽管严格意义上这是古希腊几何的成果，但欧拉对其推广和系统化做出了贡献）。
从多边形的一个顶点出发，可以引出 (n-3) 条对角线，将 n 边形分割成 (n-2) 个三角形。由于每个三角形内角和为 180°，因此 n 边形内角和为 (n-2)×180°。
这是网民最关注的“欧拉定理”之一，也是拓扑学的入门钥匙。它揭示了三维空间中凸多面体的结构规律。
这个公式适用于所有同胚于球面的凸多面体。也就是说，只要多面体没有“洞”（如环面），该公式均成立。
我们可以通过“剥皮法”来直观理解：
| 几何体 | 顶点数 (V) | 棱数 (E) | 面数 (F) | V - E + F |
|---|---|---|---|---|
| 四面体 | 4 | 6 | 4 | 4 - 6 + 4 = 2 |
| 立方体 (六面体) | 8 | 12 | 6 | 8 - 12 + 6 = 2 |
| 八面体 | 6 | 12 | 8 | 6 - 12 + 8 = 2 |
| 十二面体 | 20 | 30 | 12 | 20 - 30 + 12 = 2 |
在高等数学和工程中，欧拉公式的地位无可撼动。它将指数函数与三角函数统一起来，极大地简化了复数运算。
这个公式之所以被称为“最美数学公式”，是因为它将数学中五个最重要的常数联系在一起：
在交流电分析、信号处理（傅里叶变换）以及量子力学中，欧拉公式将繁琐的三角函数运算转化为简单的指数运算，是工程师和物理学家的必备工具。
这是欧拉定理在离散数学中的应用，源于著名的“柯尼斯堡七桥问题”。
图中所有顶点的度数（连接的边数）均为偶数。
图中恰好有 2个 奇数度顶点（起点和终点），其余均为偶数度顶点。
判断一个图形能否一笔画成，本质上就是判断其对应的图是否存在欧拉路径。例如，汉字“日”可以一笔画（2个奇点：上下中间的两个交点，或者0个奇点如果是闭合回路），而“田”字不能一笔画（4个奇点）。
欧拉发表《柯尼斯堡的七座桥》，标志着图论的诞生，解决了欧拉路径问题。
欧拉提出了多面体公式 V - E + F = 2，并由他的学生斯特勒首次证明。
欧拉出版《无穷小分析引论》，正式引入并推广了 e^(ix) 公式。
欧拉示性数成为拓扑学的核心概念，欧拉公式在复分析和数论中继续发挥巨大作用。
非常重要。虽然直接考查欧拉多面体公式的题目较少，但其蕴含的拓扑思想常出现在立体几何的压轴题背景中，且平面几何的欧拉定理（内角和）是基础必考内容。复数欧拉公式则是大学数学和竞赛的重点。
通常口语中混用，但严格来说，欧拉多面体公式(V-E+F=2)常被称为欧拉定理，而复数形式(e^ix=cosx+isinx)被称为欧拉公式。两者都是莱昂哈德·欧拉的重大发现，分别属于几何学和复分析领域。
欧拉示性数是一个拓扑不变量，对于任何同胚于球面的凸多面体，其值为2。对于其他拓扑结构（如环面），其值不同，它是区分不同拓扑空间的重要指标。公式为 χ = V - E + F。
可以联想“顶点减棱加面等于2”。或者想象一个气球，吹气膨胀成球状，无论怎么变形，只要不戳破，V-E+F 始终为 2。