利用“圆外角小于圆周角”定理
设PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B。P为圆外一点。我们要证明对于圆上任意异于A、B的点C，∠APB > ∠ACB（注意：此处C应在优弧上，若C在劣弧则视角互补，通常讨论的是张角）。
更严谨的证明路径如下：
- 设P为圆外一点，PA为切线，A为切点。在圆上取劣弧AB上任意一点C（B为另一切点）。
- 连接AC、BC。根据弦切角定理，∠PAC = ∠ABC（假设B在另一侧）。
- 考虑△PAC的外角性质。实际上，更简单的几何视角是：过P、A、B三点作一个圆（记为⊙P'）。
- ⊙P'与⊙O内切于A、B（极限情况）或相交。
- 根据几何性质，过圆外一点P的所有直线中，与圆O相切的直线所夹的角最大。因为如果视线进入圆内（割线），视角会“撑开”直到变成切线，再进入内部则视角开始减小（对于固定弦长而言）。
简化版证明： 设视角为α。对于圆上任意一点Q，若PQ是割线，则存在切线PT。在△PQT中，利用外角大于不相邻内角等性质可证。最经典的结论是：过P点作圆O的切线，切点为T，则∠OPT = arcsin(r/d)。总视角为2∠OPT。任何非切线的视角对应的三角形边长关系均会导致角度减小。
利用三角函数最值
设圆半径为r，圆心为O，圆外一点P到圆心距离为d。
1. 构建直角三角形：连接PO。设切点为A，连接OA、PA。则OA⊥PA。
2. 在Rt△PAO中：
sin(∠OPA) = OA / OP = r / d
3. 因为切线有两条，且关于PO对称，所以最大视角 θ = 2 ∠OPA。
4. 即 θ_max = 2 arcsin(r/d)。
5. 如果点P与圆上非切点C连线，构成的视角如何计算？这通常涉及复杂的余弦定理。但我们可以比较：对于固定的弦长，圆周角是定值。然而这里P点是固定的，C点在圆上移动。我们要最大化的是∠PCQ（Q为另一交点或切点）。实际上，问题通常转化为：过P点作圆O的割线，当割线变为切线时，视角达到边界最大值。
结论：当d固定时，视角仅取决于r和d的比值。切线位置给出了这个比值的直接三角函数表达，是视角的极限状态。
利用导数求极值
建立坐标系：设圆心O为(0,0)，半径为r。点P坐标为(d, 0)。
设圆上一点C的坐标为(r cos t, r sin t)。
视角的计算较为复杂，通常转化为求点C到直线PC的斜率变化。更简便的方法是考虑过P、C两点的圆与圆O相切的情况。
根据“最大视角圆”原理：过点P且与圆O相切的圆（记为圆K），其切点即为视角最大的位置。
通过求导数 d(θ)/dt = 0，可以解得切点位置。虽然计算繁琐，但结果一致：极值点出现在切点处。