1899年 - 奈奎斯特
哈里·奈奎斯特（Harry Nyquist）在贝尔实验室工作期间，研究了电报信号的传输速率，提出了关于脉冲传输速率的理论限制，为采样定理奠定了早期基础。
连接模拟世界与数字世界的桥梁：深入解析信号采样的数学基石与工程实践
香农采样定理（Shannon Sampling Theorem），在工程领域常被称为奈奎斯特采样定理（Nyquist-Shannon Sampling Theorem）。它是信息论和数字信号处理领域的基石。该定理严格规定了对连续时间模拟信号进行离散化采样时，必须满足的频率条件，以确保采样后的离散信号能够完全保留原始信号的信息，并能够通过理想滤波器无失真地重建原始模拟信号。
若连续信号 x(t) 的最高频率分量为 fmax（即信号是带限的，频率高于 fmax 的分量为0），则当采样频率 fs 满足以下条件时：
fs > 2fmax
信号 x(t) 可以被其采样值 x(nTs) 完全确定，其中 Ts = 1/fs 为采样间隔。
注： 2fmax 被称为奈奎斯特率（Nyquist Rate）。如果采样频率等于2fmax，在理想情况下也是可能的，但在实际工程中，为了留有余量以应对非理想滤波器，通常要求 fs 显著大于 2fmax。
理解香农采样定理的名词解释的关键，在于理解“频谱搬移”和“混叠”这两个概念。当我们对连续信号进行采样时，在频域上，这相当于原始信号的频谱以采样频率 fs 为周期进行无限复制。
原始信号的频谱集中在基带（0 到 fmax）。采样后，频谱在 fs, 2fs, -fs 等处出现副本。如果 fs 足够大（>2fmax），这些副本之间就会留出“空隙”，我们可以通过低通滤波器轻松提取出原始的基带频谱。
如果 fs < 2fmax，频谱副本就会相互重叠。高频信号的能量会“折叠”到低频区域，造成不可逆的信息失真。这种现象称为混叠。例如，车轮在视频中看起来倒转，就是视觉采样率低于车轮转速频率导致的混叠现象。
| 术语 | 符号 | 定义 | 重要性 |
|---|---|---|---|
| 采样频率 | fs | 每秒采集的信号样本数量 | 决定数字信号对模拟信号的还原精度 |
| 奈奎斯特率 | 2fmax | 无失真采样的最低理论频率 | 采样设计的下限基准 |
| 奈奎斯特频率 | fs/2 | 采样系统能表示的最高频率 | 判断是否发生混叠的临界值 |
| 抗混叠滤波器 | LPF | 采样前的低通滤波器 | 物理上限制信号带宽，防止混叠 |
哈里·奈奎斯特（Harry Nyquist）在贝尔实验室工作期间，研究了电报信号的传输速率，提出了关于脉冲传输速率的理论限制，为采样定理奠定了早期基础。
爱德华·凯利（Edward T. Whittaker）在数学上证明了某些带限函数可以通过其采样值进行插值重建，使用了著名的辛克函数（Sinc Function）。
克劳德·香农（Claude Shannon）在《通信的数学理论》中正式阐述了这一定理，将其纳入信息论框架，使其成为数字通信的基石。因此该定理也被称为“香农采样定理”。
香农在《香农采样定理的名词解释》相关论文中更严谨地表述了该定理，使其在工程界得到广泛认可和应用。
理解香农采样定理的名词解释不仅具有理论意义，更直接决定了现代数字技术的性能。以下是几个关键领域的应用实例：
音频是采样定理最经典的应用场景。人耳听觉范围约为 20Hz 到 20kHz。根据香农采样定理，为了无失真地记录声音，采样率必须至少为 40kHz。
在空间域上，采样定理同样适用。图像的分辨率可以看作是对连续空间光场的采样。
在软件定义无线电（SDR）中，直接对射频信号进行采样。
CT扫描和MRI本质上是对人体内部结构的密度或磁化率分布进行采样。
在搜索香农采样定理的名词解释时，网民往往会对以下相关但易混淆的概念感兴趣。这些知识有助于构建更完整的信号处理知识体系。
指采样频率远高于奈奎斯特率。虽然不增加信号本身的带宽信息，但可以将量化噪声推向更高频率，便于数字滤波去除，从而提高有效位数（ENOB）和信噪比（SNR）。这是现代音频DAC和ADC的常用技术。
通常指违反采样定理导致混叠。但在特定条件下（如带通信号），如果精心设计，可以利用混叠将高频信号搬移到低频进行处理，称为“谐波采样”或“带通采样”。
采样定理只解决了时间上的离散化，而幅度上的离散化（量化）会引入噪声。采样率和量化位数共同决定了数字信号的质量。采样率决定带宽，量化位数决定动态范围。
在使用理想低通滤波器（Sinc插值）重建信号时，如果信号在频域有截断，时域重建结果会在不连续点附近出现振荡。这是采样定理中“理想重建”在物理实现上的局限性。
在实际系统中，信号往往不是严格带限的。因此在ADC之前，必须使用一个抗混叠低通滤波器（Anti-aliasing Filter），将高于 fs/2 的频率成分大幅衰减。滤波器的过渡带越陡，越接近理想砖墙滤波器，对采样率的要求就越接近理论极限。
“带限”（Band-limited）意味着信号的频谱在某个最高频率 fmax 之外严格为零。也就是说，信号中不包含任何高于 fmax 的频率成分。这是采样定理成立的前提条件。在实际物理世界中，严格带限的信号是不存在的（因为需要无限长的时间），但我们可以近似认为信号在某个频率以上能量可忽略不计。
理论上，如果 fs = 2fmax 且采样点恰好落在正弦波的过零点上，可能会丢失信号幅度信息。但如果采样相位合适，或者信号频谱在 fmax 处为零，则是可以的。然而，由于相位不确定性和滤波器非理想性，工程上通常避免使用等于的情况，而是使用大于。
香农采样定理主要适用于确定性、带限、连续时间的信号。对于随机过程，需要结合功率谱密度来分析。对于非带限信号（如方波），理论上需要无限高的采样率才能完全重建，因此实际中只能近似重建，高频谐波会被截断，导致方波边缘变圆。
没有推翻，而是拓展。香农定理要求采样率与信号带宽成正比。压缩感知指出，如果信号是稀疏的（Sparse）或在某个变换域中是稀疏的，那么可以使用远低于奈奎斯特率的采样率进行采样，并通过非线性优化算法重建信号。但这需要信号具有稀疏性先验，且重建计算复杂，不适用于所有场景。
香农采样定理的名词解释不仅仅是一个数学公式，它是现代数字文明的基石。从你手机里播放的音乐，到互联网上传输的视频，再到医院里的CT扫描，无一不依赖于这一定理。理解采样率、奈奎斯特频率和混叠效应，是掌握数字信号处理、通信工程和计算机科学的关键一步。
核心要点回顾：
1. 采样频率必须大于信号最高频率的两倍。
2. 低于此频率会导致混叠，造成信息丢失。
3. 理想重建需要 sinc 函数插值。
4. 实际应用中需配合抗混叠滤波器。