柳斯捷尔尼克一施尼雷尔曼重数定理（Ljusternik-Schnirelmann Category，简称 LS 范畴）是代数拓扑学与非线性分析中的一个核心概念。它由苏联数学家列夫·柳斯捷尔尼克（Lev Ljusternik）和列夫·施尼雷尔曼（Lev Schnirelmann）在 1930 年代初期提出，旨在为拓扑流形上的临界点数量提供一个拓扑下界。
简单来说，该定理指出：在一个紧致光滑流形 上，任何满足一定正则性条件（如 Palais-Smale 条件）的光滑实值函数 ，其临界点的个数至少等于 的 LS 范畴 减 1（或取决于具体定义，通常指覆盖 的可收缩闭子集的最小数目）。
想象一个地形图（势能面），柳斯捷尔尼克一施尼雷尔曼重数定理 告诉我们，无论地形如何复杂，只要它的基本拓扑结构（如是否有洞、洞的个数）不变，那么其中的“山峰”（极大值）、“山谷”（极小值）和“鞍点”（临界点）的总数有一个由拓扑决定的最低限度。这个最低限度就是由 LS 范畴给出的。
20 世纪 30 年代，苏联数学界在拓扑学领域取得了举世瞩目的成就。柳斯捷尔尼克一施尼雷尔曼重数定理 的提出，标志着临界点理论从局部的莫尔斯理论向全局拓扑性质的重大跨越。
Lev Ljusternik 和 Lev Schnirelman 首次提出 LS 范畴的概念，并证明了球面上的临界点存在性。他们引入了“可收缩集合”（contractible sets）的覆盖数来定义拓扑不变量。
随着泛函分析的发展，该定理被推广到无穷维流形（如希尔伯特流形），成为研究非线性偏微分方程解存在性的有力工具。Morrey, Ekeland 等数学家对其进行了深化。
柳斯捷尔尼克一施尼雷尔曼重数定理 与同调论、上同调环结构紧密结合。Farrell, Hatcher, 以及后来的 Fadell 和 Husseini 等人进一步完善了其在拓扑复杂度（Topological Complexity）和运动规划中的应用。
要深入理解 柳斯捷尔尼克一施尼雷尔曼重数定理，必须掌握以下几个关键数学概念。我们通过选项卡来详细拆解这些抽象概念。
一个拓扑空间 称为在 中是可收缩的（contractible in ），如果包含映射 同伦于一个常值映射。直观上，这意味着 可以在 中连续地缩小为一个点，而不离开 。
示例： 圆盘在平面上是可收缩的，因为你可以把它慢慢缩小成一个点。但是，圆环（Annulus）在平面上也是可收缩的，因为它没有“穿透”的孔。然而，圆周 在平面 中是不可收缩的，因为中间的孔阻碍了它缩成一点。
这是 柳斯捷尔尼克一施尼雷尔曼重数定理 的基础，因为定理正是通过计算最少需要多少个这样的“可收缩块”才能覆盖整个流形，来确定临界点的下界。
拓扑空间 的 LS 范畴（记为 ）定义为：覆盖 的最少个数的开（或闭，视定义而定，通常同伦不变）子集的数目，使得每个子集在 中均可收缩到一点。
| 空间 | 几何形状 | LS 范畴 | 解释 |
|---|---|---|---|
| 单点空间 | 点 | 1 | 自身即可收缩，覆盖数为1 |
| 欧几里得空间 | 平面/空间 | 1 | 凸集，整体可收缩 |
| 球面 | 球体表面 | 2 | 需两个半球（可收缩）覆盖 |
| 环面 | 甜甜圈 | 3 | 需至少3个可收缩集覆盖 |
| 射影平面 | 非定向曲面 | 拓扑结构更复杂 |
根据 柳斯捷尔尼克一施尼雷尔曼重数定理，若 是紧致流形， 是其上的光滑函数，则 的临界点个数 。
莫尔斯理论和 LS 范畴理论都是研究临界点的强大工具，但侧重点不同：
因此，柳斯捷尔尼克一施尼雷尔曼重数定理 常作为莫尔斯理论的补充，或在无法验证非退化条件时使用。
柳斯捷尔尼克一施尼雷尔曼重数定理 不仅仅是一个抽象的拓扑结论，它在多个前沿科学领域都有深远的应用。
在寻找椭圆型 PDE 解（如 Yamabe 问题、非线性薛定谔方程）时，解往往对应于某个能量泛函的临界点。LS 范畴提供了保证解存在性的拓扑依据，特别是在处理具有对称性的方程时，能证明多重解的存在。
在研究哈密顿系统的周期轨道时，LS 定理被用于证明在给定能量水平上，至少存在多少个周期解。这对于理解天体物理中的轨道稳定性至关重要。
通过 拓扑复杂度（LS 范畴的推广），数学家可以评估机器人在复杂环境中从一点移动到另一点所需的路径规划的“困难程度”。这直接影响了控制算法的设计。
在量子力学中，拉普拉斯算子的特征值谱与流形的几何性质密切相关。LS 范畴为理解特征函数的节点集（nodal sets）和临界点分布提供了拓扑约束。
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莫尔斯理论通常假设临界点是非退化的（Hessian矩阵非奇异），从而给出临界点数量的下界（Betti数之和）。而 柳斯捷尔尼克一施尼雷尔曼重数定理 不要求临界点非退化，它基于拓扑空间的收缩性质（LS范畴），给出的下界通常弱于莫尔斯不等式，但适用范围更广，特别是在处理退化临界点或非紧流形时更为有力。
在拓扑学中，如果一个空间 可以连续地变形为一个点，即恒等映射与常值映射同伦，则称该空间是收缩核的。简单来说，就是空间中没有“洞”或“孔”，可以像橡皮泥一样被捏成一个点而不撕裂。
在经典力学和控制论中，LS范畴的概念被推广为拓扑复杂度（Topological Complexity），用于分析机器人运动规划的路径连通性。此外，在非线性波动方程和量子力学中，它用于证明哈密顿系统周期解的存在性，特别是在处理具有对称性的物理系统时。
计算LS范畴通常涉及上同调环的结构。例如，对于 维球面 ，其LS范畴为2，因为可以用两个开半球覆盖，且每个半球都可收缩。对于环面 ，其LS范畴为 。一般计算需要利用 cup product 的性质：如果存在 个正维度的上同调类，其杯积非零，则 LS 范畴至少为 。