从描述统计到结构方程模型，全方位解析心理学研究中的关键数学工具。掌握这些公式，让数据分析不再困难。
心理学研究始于数据的整理与描述。描述统计帮助我们理解数据的基本特征，而推断统计则允许我们从样本推广到总体。以下是心理学研究中最常用的基础公式。
其中X̄表示平均数，ΣX表示所有观测值的总和，N表示样本量。平均数反映了数据的集中趋势，是最常用的位置量数。
标准差反映了数据的离散程度。S越大，数据分布越分散；S越小，数据越集中。分母使用N-1是因为样本标准差是无偏估计。
用于衡量两个连续变量之间的线性相关程度。r的取值范围在-1到1之间。正值表示正相关，负值表示负相关，0表示无线性相关。
| 检验类型 | 适用场景 | 自变量数量 | 因变量类型 | 核心公式/统计量 |
|---|---|---|---|---|
| 独立样本t检验 | 比较两组独立样本均值差异 | 1 (2个水平) | 连续 | t = (X̄₁ - X̄₂) / √(Sp²(1/n₁ + 1/n₂)) |
| 配对样本t检验 | 比较同一组被试前后测差异 | 1 (2个水平) | 连续 | t = D̄ / (Sd / √n) |
| 单因素方差分析 | 比较三个或以上组均值差异 | 1 (3+水平) | 连续 | F = MS_between / MS_within |
| 卡方检验 | 检验分类变量的独立性 | 2 (分类) | 分类 | χ² = Σ(O - E)² / E |
严谨的实验设计是心理学研究的基石。除了显著性检验，效应量（Effect Size）能告诉我们差异的实际大小，避免“统计显著但实际无意义”的误区。
用于衡量两组之间差异的大小，不受单位影响。Cohen提出，d=0.2为小效应，d=0.5为中等效应，d=0.8为大效应。
其中 S_pooled = √[ ((n₁-1)S₁² + (n₂-1)S₂²) / (n₁ + n₂ - 2) ] 为合并标准差。
在方差分析中，η²表示自变量能解释的因变量变异的比例。范围在0到1之间，值越大说明自变量对因变量的影响越大。
SS_effect为效应平方和，SS_total为总平方和。在SPSS等软件中可直接输出。
常用于病例对照研究或逻辑回归，表示暴露组发生某事件的风险是非暴露组的多少倍。
基于2x2列联表：a=暴露且患病，b=暴露但未患病，c=未暴露但患病，d=未暴露且未患病。OR>1表示正相关，OR<1表示负相关。
随着心理学研究的深入，研究者需要处理更复杂的数据结构，如多层数据、潜变量模型等。以下是几种高级方法的公式简介。
用于预测一个因变量基于一个自变量的变化。公式为 Y = β₀ + β₁X + ε。其中β₀是截距，β₁是斜率，表示X每增加1个单位，Y平均变化β₁个单位。ε是误差项，假设服从正态分布。
当有多个自变量时，使用多元回归。Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + ... + βₖXₖ + ε。每个βᵢ表示在控制其他变量的情况下，Xᵢ对Y的净效应。
SEM结合了因子分析和路径分析。测量模型定义潜变量与观测指标的关系：X = Λₓξ + δ。结构模型定义潜变量之间的关系：η = Bη + Γξ + ζ。其中ξ为外生潜变量，η为内生潜变量。
| 指数 | 推荐值 | 可接受值 | 说明 |
|---|---|---|---|
| χ²/df | < 3 | < 5 | 卡方自由度比，对样本量敏感 |
| CFI | > 0.95 | > 0.90 | 比较拟合指数，越接近1越好 |
| TLI | > 0.95 | > 0.90 | Tucker-Lewis指数，考虑模型复杂度 |
| RMSEA | < 0.06 | < 0.08 | 近似误差均方根，越小越好 |
| SRMR | < 0.08 | - | 标准化残差均方根 |
在心理学研究中，工具的质量至关重要。信度指测量的一致性，效度指测量的准确性。
这是评估量表内部一致性最常用的指标。公式如下：
其中k为题目数量，Var_i为第i个题目的方差，Var_total为总量表的方差。α系数越高，说明题目间相关性越强，量表越可靠。一般要求α > 0.7。
在进行因子分析前，需检验数据是否适合。KMO值越接近1越好，Bartlett检验显著（p < 0.05）表示变量间存在相关，适合做因子分析。
由专家评定量表题目是否覆盖了构念的所有方面。通常通过专家打分和修订来实现，无特定计算公式，但需报告专家意见一致性系数。
通过探索性因子分析（EFA）或验证性因子分析（CFA）来检验。关注因子载荷（Factor Loading），一般要求 > 0.5，且交叉载荷低。
将量表得分与外部效标（如已有成熟量表、行为表现）进行相关分析。相关系数越高，效标效度越好。
除了核心公式，心理学研究方法中还有许多细节问题困扰着研究者。以下是基于搜索热度整理的常见问题解答。
最常用的指标是 Cronbach's α 系数。一般认为α系数大于0.7表示信度良好，大于0.8表示信度优秀。此外，还可以使用 重测信度（Test-Retest Reliability）评估时间稳定性，以及 分半信度（Split-Half Reliability）评估内部一致性。对于分类数据，可使用Kappa系数。
混淆变量（Confounding Variable）是指那些可能影响因变量，但并非自变量的其他变量。如果不加以控制，会导致实验结果无法准确归因于自变量的变化。常用的控制方法包括 随机分配（Random Assignment）、匹配（Matching）、统计控制（如协方差分析ANCOVA）以及 双盲设计。
结构方程模型可以同时处理多个因变量，允许测量误差的存在，并且能够检验复杂的理论模型中潜变量之间的关系。它结合了因子分析和路径分析的优点，是验证性研究的强大工具。此外，SEM可以提供模型拟合指数，帮助研究者评估理论模型与数据的匹配程度。
处理缺失值的方法包括：删除法（列表删除或成对删除），适用于缺失比例极小的情况；均值/中位数填补，简单易用但可能低估方差；回归填补，利用其他变量预测缺失值；以及 多重插补法（Multiple Imputation, MI），这是目前推荐的方法，通过生成多个完整数据集来反映缺失值的不确定性，从而提供更准确的统计推断。
样本量确定通常基于 功效分析（Power Analysis）。需要考虑三个因素：显著性水平（α，通常为0.05）、统计功效（1-β，通常为0.80）和预期效应量（Effect Size）。可以使用GPower等软件进行计算。一般经验法则：t检验每组至少30人，方差分析每组至少20人，回归分析每个自变量至少10-15个样本，SEM分析至少200个样本。