相邻问题与不相邻问题
这是排列组合中最经典的两种模型，掌握口诀可秒杀：
1. 相邻 —— 捆绑法
操作：将相邻元素视为一个“超级元素”，先整体排列，再内部全排列。
公式： （m为整体排列数，k为捆绑元素个数）
注意：如果有两组相邻要求，需分别捆绑或视情况整体捆绑。
2. 不相邻 —— 插空法
操作：先排列无限制的元素，形成空隙，再将不相邻元素插入空隙。
公式： （n为总数，k为不相邻元素数）
注意：两端也可以插空，因此空隙数为 。
相同元素分配问题
当题目要求将 个相同的小球放入 个不同的盒子，且每盒至少一个时，使用隔板法。
原理图解
● ● ● ● ● ● (6个球)
形成5个空隙。
要分成3组，需插2个板。
公式：
变式拓展：
- 允许为空：先借后还。向每个盒子借1个球，问题转化为每盒至少1个，最后再还回去。公式：。
- 指定盒子至少k个：先给指定盒子放入k个，剩余元素再分配。
二项式系数与项系数的陷阱
在排列组合二项式定理测试题中，这是一个极高频的易错点。
| 概念 |
定义 |
计算公式 |
典型提问 |
| 二项式系数 |
仅与组合数有关 |
|
“第r+1项的二项式系数” |
| 项的系数 |
包含变量前的常数 |
(仅看常数部分) |
“第r+1项的系数” |
关键提示：若题目问“系数最大项”，需解不等式组 来求解r；若问“二项式系数最大项”，直接看中间项（n为偶数则中间一项，n为奇数则中间两项）。