其中 a, b, c 为三角形的三条边，C 为边 a 和边 b 的夹角。
余弦定理揭示了三角形任意两边的平方和等于第三边的平方加上这两边与它们夹角余弦的积的两倍。它是勾股定理的推广，当角C为90度时，cosC=0，公式退化为勾股定理 c² = a² + b²。
为了求角度，我们常使用变形形式：
cosC = (a² + b² - c²) / 2ab
同理可得 cosA 和 cosB 的表达式。这为“已知三边求角”提供了直接途径。
适用于任意三角形。无论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，余弦定理均成立。它是解三角形的两大工具之一（另一为正弦定理）。
理解证明过程有助于记忆公式并灵活应用。我们提供两种最常用的证明方法。
设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c。
由向量减法可知：BC = AC - AB
两边平方（即数量积）：
|BC|² = (AC - AB) · (AC - AB)
a² = |AC|² + |AB|² - 2|AC||AB|cosA
即：a² = b² + c² - 2bc·cosA
同理可证：b² = a² + c² - 2ac·cosB，c² = a² + b² - 2ab·cosC。
✔️ 此方法简洁有力，体现了向量在几何中的应用优势。
如图，建立平面直角坐标系，使顶点A与原点重合，边AB落在x轴正半轴上。
则顶点坐标为：A(0, 0)，B(c, 0)。
因为AC = b，且∠A = α，所以顶点C的坐标为 (b·cosA, b·sinA)。
利用两点间距离公式计算BC的长度（即边a）：
a² = (b·cosA - c)² + (b·sinA - 0)²
a² = b²cos²A - 2bc·cosA + c² + b²sin²A
a² = b²(cos²A + sin²A) + c² - 2bc·cosA
因为 cos²A + sin²A = 1，所以：a² = b² + c² - 2bc·cosA。
过点C作CD⊥AB于点D（假设△ABC为锐角三角形）。
在Rt△ADC中，AD = b·cosA，CD = b·sinA。
因为 D 在 AB 上，所以 BD = c - AD = c - b·cosA。
在Rt△BDC中，由勾股定理得：
BC² = BD² + CD²
a² = (c - b·cosA)² + (b·sinA)²
a² = c² - 2bc·cosA + b²cos²A + b²sin²A
a² = c² - 2bc·cosA + b²(cos²A + sin²A)
即：a² = b² + c² - 2bc·cosA。
若△ABC为钝角三角形，证明过程类似，仅需注意线段长度的正负关系，结论依然成立。
题型特征：给出 a, b 和 ∠C，求 c。
解题步骤：直接代入公式 c² = a² + b² - 2ab·cosC，开方即可。
示例：在△ABC中，a=3, b=4, ∠C=60°。求c。
c² = 3² + 4² - 2×3×4×cos60°
c² = 9 + 16 - 24×0.5
c² = 25 - 12 = 13
c = √13
题型特征：给出 a, b, c，求 ∠A, ∠B, 或 ∠C。
解题步骤：使用变形公式 cosA = (b² + c² - a²) / 2bc，求出余弦值后反三角函数求角。
注意：余弦值在(0, π)单调递减，由cosA的正负可直接判断角A是锐角还是钝角（cosA>0为锐角，cosA<0为钝角）。
方法：通过比较最大边的平方与另外两边平方和的关系。
在物理学中，余弦定理广泛用于力的合成与分解。例如，求两个共点力 F1 和 F2 的合力 F，若两力夹角为 θ，则合力大小满足：
F² = F1² + F2² + 2F1F2cosθ
(注意：物理中常直接用平行四边形法则，几何上对应三角形两边及夹角)
虽然欧几里得没有明确提出现代的余弦定理公式，但他在《几何原本》第四卷命题10和第四卷命题12中隐含了余弦定理的几何形式，特别是关于钝角三角形的性质。
阿基米德等古希腊数学家在研究弦长时，实际上已经使用了类似余弦定理的关系，尽管当时是用几何图形而非代数公式表达。
阿拉伯数学家花拉子米（Al-Khwarizmi）在解决天文问题时，明确推导出了球面三角和平面三角中的余弦关系，为后世奠定了基础。
随着三角学作为独立学科的发展，法国数学家韦达（Viète）和德国数学家雷吉奥蒙塔努斯（Regiomontanus）等人将余弦定理整理为现代的代数形式，使其成为解三角形的标准工具。
在解三角形题目中，选择哪个定理往往让学生纠结。以下是详细对比：
| 对比维度 | 正弦定理 (Sine Rule) | 余弦定理 (Cosine Rule) |
|---|---|---|
| 公式形式 | a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R | c² = a² + b² - 2ab·cosC |
| 已知条件 | 1. 两角及一边 (AAS/ASA) 2. 两边及其中一边的对角 (SSA) |
1. 两边及夹角 (SAS) 2. 三边 (SSS) |
| 主要用途 | 求角、求边、判断解的个数 | 求第三边、求角度、判断三角形形状 |
| 多解性 | SSA情况下可能有一解、两解或无解 | SSS和SAS情况下通常有唯一解 |
| 记忆口诀 | “边比角，对角大” | “平方差，余弦倍” |
在高等数学中，余弦定理可以看作向量点积定义的几何体现。对于任意向量 和 ，有：
||² = ||² + ||² - 2||||cosθ
这正是余弦定理在向量空间中的直接表达。此外，在内积空间中，余弦定理推广为：
||x - y||² = ||x||² + ||y||² - 2⟨x, y⟩
这体现了数学知识的统一性与美感。
勾股定理是余弦定理的特例。当三角形为直角三角形，且夹角C=90°时，cosC=0，余弦定理 c² = a² + b² - 2ab·cosC 即简化为 c² = a² + b²。因此，余弦定理是勾股定理在一般三角形中的推广。
利用余弦值的符号判断最为简便。若 cosA > 0，则 A 为锐角；若 cosA < 0，则 A 为钝角；若 cosA = 0，则 A 为直角。在公式 cosA = (b² + c² - a²) / 2bc 中，分母恒为正，因此只需判断分子 (b² + c² - a²) 的正负即可。
虽然SSA情况下可以列出关于第三边的二次方程（利用余弦定理），但解方程可能得到两个正根、一个正根或无实根，对应两解、一解或无解的情况，判断较为复杂。相比之下，使用正弦定理结合大边对大角的性质通常更直观。但理论上，余弦定理依然适用，只是计算稍繁琐。
1. 导航定位：已知两船位置及夹角，求距离。
2. 建筑测量：计算不规则地块的面积或边长。
3. 计算机图形学：计算向量夹角、光照模型。
4. 航空航天：轨道计算中的角度与距离转换。