深入解析：射影定理用勾股定理证明

第一步：利用勾股定理建立基本关系

在Rt△ABC中，根据勾股定理：

a² + b² = c²    ......(1)

在Rt△ADC中：

b² = h² + b'²    ......(2)

在Rt△BDC中：

a² = h² + a'²    ......(3)

第二步：推导 AC² = AD · AB (即 b² = b'c)

这是一个难点，因为直接用勾股定理推导射影定理通常需要结合面积法或预先知道高与射影的关系。如果严格限制仅用勾股定理而不借助相似比，我们需要先证明 CD² = AD·BD 或者通过代数变形。

让我们尝试通过代数变形来揭示其内在联系。由(2)得 h² = b² - b'²，由(3)得 h² = a² - a'²。

所以 b² - b'² = a² - a'²。

代入(1)中的 a² = c² - b²：

b² - b'² = (c² - b²) - a'²

2b² = c² + b'² - a'²

由于 c = b' + a'，所以 c² = (b' + a')² = b'² + 2b'a' + a'²。

代入上式：

2b² = (b'² + 2b'a' + a'²) + b'² - a'²

2b² = 2b'² + 2b'a'

b² = b'(b' + a')

因为 b' + a' = c = AB，且 b' = AD，b = AC。

结论：AC² = AD · AB。得证。

第三步：推导 BC² = BD · AB (即 a² = a'c)

同理，利用对称性或重复上述代数过程：

2a² = c² + a'² - b'²

2a² = (b' + a')² + a'² - b'²

2a² = b'² + 2b'a' + a'² + a'² - b'²

2a² = 2a'² + 2b'a'

a² = a'(a' + b')

a² = a'c

结论：BC² = BD · AB。得证。

第四步：推导 CD² = AD · BD (即 h² = b'a')

由面积法可知 S = 1/2 ab = 1/2 ch，故 ab = ch。

两边平方：a²b² = c²h²。

将之前证明的 a² = a'c 和 b² = b'c 代入左边：

(a'c)(b'c) = c²h²

a'b'c² = c²h²

消去 c² (c≠0)，得 h² = a'b'。

结论：CD² = AD · BD。得证。