在高中数学体系中，平面向量基本定理是连接几何与代数的桥梁。它不仅是解决平面几何问题的有力工具，更是后续学习空间向量、解析几何乃至大学线性代数的基石。许多同学在面对复杂的几何证明或最值问题时，往往因为无法灵活选取基底而感到困惑。本页面将通过详实的平面向量基本定理例题拆解，帮助您构建完整的知识网络。
如果 e₁, e₂ 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ₁, λ₂，使 a = λ₁e₁ + λ₂e₂。
在高考及各类数学竞赛中，直接利用坐标法虽然通用，但计算量有时较大。熟练运用平面向量基本定理，通过选取合适的基底，可以将复杂的几何关系转化为简单的代数运算，从而大幅简化解题过程。特别是在处理三角形中的重心、垂心、外心等特殊点问题时，基底法往往比坐标法更具优势。
解决平面向量基本定理例题的第一步，也是最关键的一步，是选择合适的基底。基底的选择应当遵循“有公共起点、长度已知或易求、夹角已知或易求”的原则。
题目： 在 △ABC 中，点 D 是边 BC 的中点，点 E 是边 AC 上靠近 A 点的三等分点（即 AE = 2EC）。设 AB = a, AC = b，试用 a, b 表示向量 DE。
结论： DE = -1/2 AB + 1/6 AC。
技巧点拨： 在本题中，我们利用了“向量减法三角形法则”（终点减起点）。这是处理平面向量基本定理例题最通用的方法。切记，所有向量最终都要归结到选定的基底上。
在高考压轴题中，平面向量基本定理常与“三点共线”条件结合考查。若 A, B, C 三点共线，且 O 为直线外一点，则存在实数 λ, μ 使得 OC = λOA + μOB，且 λ + μ = 1。这是一个极具杀伤力的结论。
题目： 已知 O 是 △ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点，且 2OA + OB + OC = 0，则 OA = ?
解析：
由 D 为 BC 中点可知：OB + OC = 2OD。
代入原式得：2OA + 2OD = 0，即 OA = -OD。
这意味着 O 是线段 AD 的中点。此题巧妙利用了中点向量的性质，将未知向量转化为已知几何关系。
题目： 设 e₁, e₂ 是夹角为 60° 的两个单位向量，若 a = 3e₁ - 2e₂, b = 3e₁ - k e₂，且 a ⊥ b，求 k 的值。
解析：
利用向量垂直的充要条件：a · b = 0。
(3e₁ - 2e₂) · (3e₁ - k e₂) = 0
9|e₁|² - 3k(e₁·e₂) - 6(e₁·e₂) + 2k|e₂|² = 0
已知 |e₁|=|e₂|=1, e₁·e₂ = 1×1×cos60° = 1/2。
9 - 1.5k - 3 + 2k = 0
6 + 0.5k = 0 ⇒ k = -12。
此题展示了如何将平面向量基本定理与数量积运算结合，通过基底运算解决垂直问题。
题目： 若 x a + y b = 0，且 a, b 不共线，则 x, y 满足什么条件？
解析：
根据平面向量基本定理的唯一性，零向量 0 用基底 a, b 表示时，系数必须全为 0。即 x=0, y=0。
拓展： 在选择题中，若选项为具体数值，可取特殊基底（如 i, j）代入验证，往往能更快得出答案。
当基底选取为互相垂直的单位向量 i, j 时，平面向量基本定理就转化为了坐标运算。这是高考中计算量最大、但套路最固定的部分。
| 运算类型 | 基底表示 | 坐标表示 | 注意事项 |
|---|---|---|---|
| 加法 | a + b | (x₁+x₂, y₁+y₂) | 对应坐标相加 |
| 减法 | a - b | (x₁-x₂, y₁-y₂) | 对应坐标相减 |
| 数乘 | λa | (λx₁, λy₁) | 每个坐标都乘 λ |
| 数量积 | a · b | x₁x₂ + y₁y₂ | 对应坐标乘积之和 |
| 平行 | a // b | x₁y₂ - x₂y₁ = 0 | 交叉相乘相等 |
| 垂直 | a ⊥ b | x₁x₂ + y₁y₂ = 0 | 数量积为0 |
题目： 已知 A(1, 2), B(3, 4), C(5, 0)，判断 △ABC 的形状。
解析：
AB = (2, 2), AC = (4, -2), BC = (2, -4)。
计算数量积：AB · AC = 2×4 + 2×(-2) = 8 - 4 = 4 ≠ 0（非直角）。
计算模长：|AB| = √8, |AC| = √20, |BC| = √20。
发现 |AC| = |BC|，且 AB² + AB·AC... 此处直接看边长关系更直观。
更正：检查 AB · BC = 2×2 + 2×(-4) = 4 - 8 = -4。
检查 AC · BC = 4×2 + (-2)×(-4) = 8 + 8 = 16。
实际上，|AC| = |BC| = √20，所以是等腰三角形。若需判断直角，需检查勾股定理：8 + 20 ≠ 20，故非直角三角形。
结论： △ABC 为等腰三角形。
不可以。基底向量必须是不共线的（即线性无关的）。如果两个向量共线，它们只能表示同一直线上的向量，无法覆盖整个平面。例如，在二维平面中，你不能只用 (1,0) 和 (2,0) 来表示 (0,1)。
通常选择从同一点出发的两条边作为基底，特别是当这两条边的长度和夹角已知时。如果图形是平行四边形，选择相邻两边；如果是三角形，选择共顶点的两边。若图形中有直角坐标系，默认选择 i, j 作为基底。
通常利用向量相等的充要条件（对应坐标相等或基底系数相等）建立方程或方程组求解。如果涉及最值问题，可能需要结合二次函数、基本不等式或三角函数的性质来求解。
平面向量基本定理是在二维平面内，需要两个不共线向量作为基底；空间向量基本定理是在三维空间内，需要三个不共面向量作为基底。原理相同，都是利用线性组合表示任意向量。