射影定理例题详解：从基础公式到复杂几何应用
在初中及高中几何数学体系中，射影定理（Projection Theorem），又称“欧几里得定理”（Euclid's Theorem），是解决直角三角形内部线段关系的重要工具。它描述了直角三角形中，斜边上的高、直角边以及斜边被分成的两段线段之间的数量关系。
许多学生在面对几何证明题时，往往因为无法识别出“母子相似模型”而卡壳。掌握射影定理例题的解法，不仅能快速求解线段长度，还能为证明比例线段提供简洁的路径。本页面将为您提供详尽的射影定理知识梳理、典型例题解析及易错点指南。
设 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是斜边 AB 上的高，垂足为 D。设 BC = a, AC = b, AB = c, CD = h, AD = p, BD = q。
a² = pq + q² (即 b² = c·p, a² = c·q)
或者更常见的写法：
AC² = AD · AB (b² = cp)
BC² = BD · AB (a² = cq)
CD² = AD · DB (h² = pq)
a² + b² = c²
理解这三个公式的关键在于相似三角形的识别。在图中，△ACD ∽ △CBD ∽ △ABC。射影定理本质上就是这三对相似三角形对应边成比例的结论。
以下是针对不同类型射影定理例题的详细拆解，涵盖计算、证明及综合应用。
例题 1：已知高和射影，求直角边
题目：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，CD⊥AB 于 D。若 AD=2，DB=8，求 AC 的长。
解析：
1. 首先计算斜边 AB 的长度：
AB = AD + DB = 2 + 8 = 10。
2. 识别图形结构：这是一个标准的“母子相似”模型，适用射影定理。
3. 选择公式：我们需要求直角边 AC，已知其射影 AD 和斜边 AB。使用公式 AC² = AD · AB。
4. 代入计算：
AC² = 2 × 10 = 20
AC = √20 = 2√5。
答案：AC 的长为 2√5。
例题 2：已知两射影，求高
题目：同上条件，若 AD=3，DB=12，求 CD 的长。
解析：
利用射影定理中的高线公式：CD² = AD · DB。
CD² = 3 × 12 = 36。
CD = 6。
答案：CD 的长为 6。
例题 3：证明线段比例关系
题目：在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D。求证：1/AC² + 1/BC² = 1/CD²。
解析：
这是射影定理的一个经典变形证明题，考察对公式的灵活运用。
证明步骤：
1. 由射影定理可知：AC² = AD · AB，BC² = BD · AB。
2. 将上述两式代入左边表达式：
1/AC² + 1/BC² = 1/(AD·AB) + 1/(BD·AB)
3. 提取公因式 1/AB：
= (1/AB) · (1/AD + 1/BD)
= (1/AB) · [(BD + AD) / (AD·BD)]
4. 因为 BD + AD = AB，所以：
= (1/AB) · [AB / (AD·BD)] = 1 / (AD·BD)
5. 再次利用射影定理的高线公式：CD² = AD · BD，即 AD·BD = CD²。
6. 所以原式 = 1/CD²。证毕。
点评：此类题目常出现在中考压轴题的前几问，关键在于将分母中的直角边转化为射影与斜边的乘积。
例题 4：结合圆的性质（圆幂定理）
题目：AB 是 ⊙O 的直径，C 是圆上一点，CD⊥AB 于 D。若 AD=4，DB=9，求 AC 与 BC 的比值。
解析：
1. 因为 AB 是直径，所以 ∠ACB = 90°（直径所对的圆周角是直角）。
2. 此时图形完全符合射影定理的应用场景。
3. 斜边 AB = AD + DB = 4 + 9 = 13。
4. 求 AC：AC² = AD · AB = 4 × 13 = 52，故 AC = √52 = 2√13。
5. 求 BC：BC² = BD · AB = 9 × 13 = 117，故 BC = √117 = 3√13。
6. 计算比值：AC / BC = (2√13) / (3√13) = 2/3。
答案：AC 与 BC 的比值为 2:3。
拓展：此题展示了射影定理在圆几何中的隐藏应用。只要看到“直径+垂线”，即可立即联想射影定理。
很多学生死记硬背公式，容易混淆。通过相似三角形的证明过程，可以彻底理解公式的来源。
在 Rt△ABC 中，CD⊥AB。
∵ ∠ADC = ∠CDB = 90°
∠A + ∠ACD = 90°，且 ∠A + ∠B = 90°
∴ ∠ACD = ∠B
∴ △ACD ∽ △CBD （两角对应相等）
由 △ACD ∽ △CBD 可得对应边成比例：
AD / CD = CD / BD
即 CD² = AD · BD （h² = pq）
考虑 △ACD 与 △ABC：
∠A = ∠A，∠ADC = ∠ACB = 90°
∴ △ACD ∽ △ABC
∴ AC / AB = AD / AC
即 AC² = AB · AD （b² = cp）
Q1: 射影定理只适用于直角三角形吗？
A: 是的，标准的射影定理仅适用于直角三角形，且必须有一条斜边上的高。如果不是直角三角形，通常需要先作高构造直角三角形，或者使用余弦定理等更通用的工具。
Q2: 考试中可以直接写射影定理公式吗？
A: 在初中阶段，部分地区的中考评分标准允许直接引用射影定理公式，但为了保险起见，建议在证明题中写出“由射影定理得”或简要说明“由△ACD∽△ABC得”。在高中及竞赛中，直接引用通常是被允许的。
Q3: 如何快速记忆射影定理的三个公式？
A: 可以采用“垂直归零”法或口诀记忆：“斜边上的高，是两射影的积的平方根；直角边的平方，是它在斜边上的射影乘斜边。” 或者记住图形特征：每个公式都涉及“小直角三角形”的斜边（即原三角形的直角边）和“大直角三角形”的斜边。