铅垂定理二次函数例题：攻克几何与代数综合难点

题目描述

在例题一的基础上，若点 M 在抛物线上，点 N 在直线 BC 上，且 MN // y 轴，以 M、N、B、C 为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出点 M 的坐标；若不能，请说明理由。

解题思路

本题考查平行四边形的判定与铅垂线的结合。由于 MN // y 轴，BC 不平行于 y 轴，故 MN 与 BC 不可能平行。若要以 M、N、B、C 为顶点构成平行四边形，必须有一组对边平行且相等。由于 MN // y 轴，若四边形是平行四边形，则另一组对边 MB // NC 或 MC // NB 且 MB=NC 或 MC=NB... 这种思路较复杂。

更简单的思路：利用“一组对边平行且相等”。已知 MN // y 轴，若四边形 MNCB (或 MNBC) 是平行四边形，则需 MN // BC 且 MN=BC？不对，BC 不平行 y 轴。
修正思路：平行四边形对角线互相平分，或对边平行且相等。
情况1：MN 与 BC 为对边。则需 MN // BC 且 MN = BC。但 MN // y 轴，BC 斜率为 -1，不可能平行。故此情况不存在。
情况2：MB 与 NC 为对边，或 MC 与 NB 为对边。这意味着 MN 和 BC 是对角线？不对。
正确分类： 1. MN 为边，BC 为边。需 MN // BC 且 MN = BC (不可能，因 MN//y, BC不//y)。 2. MN 为边，MB 为边... 等等，题目是 M、N、B、C 四点。 3. 若 MN // BC 不可能，则只能是 MN 与 BC 为对角线？也不对，平行四边形对边平行。 4. 重新审视：MN // y 轴。若四边形是平行四边形，必须有一组对边平行。

• 若 MB // NC，且 MB = NC。
• 若 MC // NB，且 MC = NB。
• 若 MN // BC (不可能)。

实际上，更常见的考法是：M、N 在抛物线和直线上，MN // y 轴。求以 M、N、B、C 为顶点的平行四边形。
由于 MN // y 轴，若四边形 MNCB 是平行四边形，则需 BC // MN (不可能) 或 MB // CN 且 MB=CN...
让我们换一个更贴合铅垂定理的视角：利用“铅垂高”相等。
若四边形 MNCB 是平行四边形，则对角线互相平分。或者利用向量。
简单判定：若 MN 与 BC 不平行，则 MN 不能作为与 BC 相对的边。
唯一可能是：MN 和 BC 是“交叉”的？不，平行四边形对边平行。
啊，这里有个陷阱。如果 MN // y 轴，而 BC 不平行 y 轴，那么 MN 和 BC 永远不平行。所以 MN 和 BC 只能是对角线？或者 MN 和 BC 是邻边？
如果是邻边，比如四边形 MNB C，则 MN // BC (不可能) 或 MB // NC。
若 MB // NC，则斜率相等。
若 MC // NB，则斜率相等。
还有一种情况：MN 和 BC 是对边，但方向相反？即 MN // BC 依然不成立。
等等，是否可能 MN 不是边，而是对角线？如果 MN 是对角线，BC 是另一条对角线，则互相平分。
如果 MN 是边，BC 是边，必须 MN // BC。矛盾。
所以，只可能是：MN 是边，BC 是边，但不平行？那怎么叫平行四边形？
结论：若 MN // y 轴，BC 不平行 y 轴，则以 M,N,B,C 为顶点的平行四边形，其边必须包含 MN。那么与 MN 平行的边必须是 BC？不可能。
所以，必须是 MN 与某条线段平行。比如 MB // NC？此时 MN 和 BC 是另一组对边？不，MB 和 NC 是对边。那么 MN 和 BC 也是对边。所以 MN // BC。这又回到了矛盾。
除非... B、C、M、N 的顺序不同。
四边形 M B N C：对边 MB // NC，MN // BC。矛盾。 <四边形 M C N B：对边 MC // NB，MN // CB。矛盾。
四边形 M N B C：对边 MN // BC。矛盾。
难道无解？
让我们检查题目条件。MN // y 轴。
如果 B、C 的横坐标相同，则 BC // y 轴，此时 MN // BC 成立。但本题 B(3,0), C(0,3)，横坐标不同。
所以，确实不存在以 MN、BC 为对边的平行四边形。
那是否存在以 MN 为对角线的平行四边形？即四边形 M B N C (MB // CN, MC // BN)。此时对角线 MN 和 BC 互相平分。
设 MN 中点为 K，BC 中点为 L。若 K=L，则构成平行四边形。
BC 中点 L (1.5, 1.5)。
M(m, -m²+2m+3), N(m, -m+3)。
MN 中点 K (m, (-m²+2m+3 -m+3)/2) = (m, (-m²+m+6)/2)。
令 K = L：
m = 1.5
(-m²+m+6)/2 = 1.5 => -m²+m+6 = 3 => m²-m-3=0。
解得 m = (1±√13)/2。
需验证 m=1.5 是否满足 m²-m-3=0? 2.25 - 1.5 - 3 = -2.25 ≠ 0。
所以中点不重合。
因此，本题在特定抛物线下可能无解，或者我遗漏了情况。
通常这类题目会设计成有解。让我们重新思考“平行四边形”的定义。
如果 MN 和 BC 不平行，它们不能作为对边。
如果 MN 和 BC 是邻边，比如四边形 M B C N。则 MB // CN 且 MB = CN。
此时 MN 和 BC 是对角线。
对角线互相平分。即 MN 中点 = BC 中点。
刚才计算显示中点不重合。
所以，此题在给定坐标下，可能不存在这样的平行四边形。
但在教学示例中，通常会给出一个有解的情况。
让我们假设题目是求“以 M、N、B、C 为顶点的四边形是梯形”或者其他。
或者，题目中的 MN 不一定平行 y 轴？题目说了 MN // y 轴。
好吧，为了示例的完整性，我们假设存在解，或者指出无解。
这里我们指出：经计算，BC 中点横坐标为 1.5，而 MN 中点横坐标为 m。若要互相平分，需 m=1.5。代入纵坐标验证，发现不相等。故不存在以 MN、BC 为对角线的平行四边形。
又因 MN // y 轴，BC 不平行 y 轴，故 MN 与 BC 不平行，不能作为对边。
综上，不存在满足条件的平行四边形。

结论： 经分析，不存在满足条件的点 M 使四边形为平行四边形。

题目描述

已知抛物线 y = ax² + bx + 3 经过 A(-1,0), B(3,0) 两点。点 D 是线段 BC 下方抛物线上的一动点。求四边形 ABDC 面积的最大值。

解题思路

四边形 ABDC 不是规则图形，可以分割为 △ABC 和 △DBC。
S_四边形 = S_△ABC + S_△DBC。
△ABC 的底 AB 和高 OC 都是定值，面积固定。
因此，求四边形面积最大值转化为求 △DBC 面积的最大值。
而 △DBC 正是铅垂定理的经典应用场景！

详细步骤

1. 求抛物线解析式：
   代入 A(-1,0), B(3,0) 到 y = a(x+1)(x-3)。
   展开得 y = a(x² - 2x - 3)。
   常数项为 -3a。已知常数项为 3，故 -3a = 3 => a = -1。
   解析式：y = -x² + 2x + 3。
2. 计算 S_△ABC：
   AB = 3 - (-1) = 4。
   OC = 3。
   S_△ABC = 1/2 × 4 × 3 = 6。
3. 求 S_△DBC 最大值：
   同例题一，当 P (即 D) 为 (3/2, 15/4) 时，△DBC 面积最大，最大值为 27/8。
4. 计算总面积：
   S_max = S_△ABC + S_△DBC_max = 6 + 27/8 = 48/8 + 27/8 = 75/8。

结论： 四边形 ABDC 面积的最大值为 75/8。