〓 特征函数推导步骤
特征函数是唯一确定概率分布的工具。对于 X ~ N(μ, σ²)，其特征函数为：
φ_X(t) = E[e^(itX)] = exp(iμt - (σ²t²)/2)
由于 X 和 Y 独立，Z = X + Y 的特征函数为各自特征函数的乘积：
φ_Z(t) = φ_X(t) · φ_Y(t)
= exp(iμ₁t - (σ₁²t²)/2) · exp(iμ₂t - (σ₂²t²)/2)
= exp[i(μ₁+μ₂)t - ((σ₁²+σ₂²)t²)/2]观察结果，这正是均值为 μ₁+μ₂，方差为 σ₁²+σ₂² 的正态分布的特征函数。由唯一性定理，得证 Z ~ N(μ₁+μ₂, σ₁²+σ₂²)。
〓 卷积公式推导思路
卷积法直接从概率密度函数（PDF）入手。设 f_X(x) 和 f_Y(y) 分别为 X 和 Y 的密度函数，则 Z=X+Y 的密度函数 f_Z(z) 为：
f_Z(z) = ∫_{-∞}^{+∞} f_X(x) f_Y(z-x) dx将正态分布的密度函数代入积分式，通过配方法完成平方，利用高斯积分的性质，最终可以化简为一个新的正态密度函数形式。虽然计算过程繁琐，但直观地展示了密度函数的叠加过程。
〓 矩母函数法
矩母函数 M_X(t) = E[e^(tX)] 在存在时也能唯一确定分布。正态分布的矩母函数为：
M_X(t) = exp(μt + (σ²t²)/2)
利用独立性，M_Z(t) = M_X(t) · M_Y(t)，计算过程与特征函数法类似，指数部分直接相加，同样得到新正态分布的矩母函数形式。