罗尔定理经典例题深度解析

例题 3：高阶导数零点

题目：设 f(x) 在 [0, 1] 上连续，在 (0, 1) 内可导，且 f(0)=f(1)=0，证明存在 ξ ∈ (0, 1) 使得 f'(ξ) + 2ξf(ξ) = 0。

解析：

这是构造辅助函数的经典题型。观察目标式 f'(ξ) + 2ξf(ξ) = 0，这提示我们寻找一个函数 F(x)，其导数包含这两项。

考虑 F(x) = e^(x²) f(x)。求导得 F'(x) = e^(x²) 2x f(x) + e^(x²) f'(x) = e^(x²) [f'(x) + 2x f(x)]。

验证罗尔定理条件：F(0) = e^0 f(0) = 0；F(1) = e^1 f(1) = 0。满足 f(0)=f(1)。

故存在 ξ ∈ (0, 1) 使得 F'(ξ) = 0，即 e^(ξ²) [f'(ξ) + 2ξ f(ξ)] = 0。因 e^(ξ²) ≠ 0，故 f'(ξ) + 2ξ f(ξ) = 0。证毕。

例题 4：介值定理与罗尔定理结合

题目：设 f(x) 在 [0, 2] 上连续，在 (0, 2) 内可导，f(0)=0, f(2)=2。证明存在 ξ ∈ (0, 2) 使得 f'(ξ) = 1 - f(ξ)。

解析：

变形目标式：f'(ξ) + f(ξ) = 1。这提示构造 F(x) = e^x f(x) - e^x。

求导：F'(x) = e^x f(x) + e^x f'(x) - e^x = e^x [f(x) + f'(x) - 1]。

我们需要找两点使得 F(x) 值相等。已知 f(0)=0, f(2)=2。

F(0) = e^0 0 - e^0 = -1。

F(2) = e^2 2 - e^2 = e^2。

此路不通，需重新构造。考虑 G(x) = e^x (f(x) - x)。

G'(x) = e^x (f(x) - x) + e^x (f'(x) - 1) = e^x [f(x) + f'(x) - x - 1]。也不对。

正确构造：令 F(x) = e^x f(x) - e^x。则 F(0) = -1, F(2) = 2e^2 - e^2 = e^2。无法直接用罗尔。

修正思路：题目可能隐含介值定理。设 g(x) = f(x) - x。g(0)=0, g(2)=0。由罗尔定理，存在 η 使得 g'(η)=0，即 f'(η)-1=0，f'(η)=1。但这没用到 f(ξ)。

重新审视题目：通常这类题需要构造 F(x) = e^x (f(x) - x) + C 或者类似形式。若题目为 f'(ξ) + f(ξ) = 1，则构造 F(x) = e^x f(x) - e^x。F(0)=-1, F(2)=e^2。若无其他条件，此题需补充条件或使用介值定理找中间点。此处仅作思路展示，重点在于构造辅助函数 F(x) 使得 F'(x) 包含目标式。

例题 5：利用罗尔定理证明不等式

题目：证明当 x > 0 时，e^x > 1 + x。

解析：

虽然此题通常用拉格朗日中值定理或导数单调性证明，但也可通过罗尔定理的反证法思想或构造辅助函数来理解。

设 f(x) = e^x - 1 - x。f(0) = 1 - 1 - 0 = 0。

假设存在 x0 > 0 使得 f(x0) ≤ 0。由于 f(0)=0，若 f(x0) < 0，则由介值定理，在 (0, x0) 内存在 c 使得 f(c)=0？不，我们需要证明 f(x) > 0。

更严谨的罗尔定理应用：假设 f(x) 在 [0, x0] 上不恒大于0。若 f(x0) ≤ 0，因 f(0)=0，若 f(x0)=0，则由罗尔定理，存在 ξ ∈ (0, x0) 使得 f'(ξ)=0。f'(x) = e^x - 1。在 x>0 时，e^x > 1，故 f'(x) > 0。f'(x) 在 (0, x0) 内不可能为0。矛盾。

因此，假设不成立，f(x) 在 x>0 时恒大于0。即 e^x > 1 + x。