垂直的性质定理：立体几何的基石

1.1 线面垂直的性质定理

定理内容：垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号表示：若 a ⊥ α, b ⊥ α，则 a // b。

几何意义：平面的垂线互相平行。这意味着，所有垂直于同一平面的直线，它们的方向向量是共线的。这一性质在空间向量的应用中尤为重要，它保证了法向量的唯一性（方向相反除外）。

1.2 面面垂直的性质定理

定理内容：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

符号表示：若 α ⊥ β, α ∩ β = l, a ⊂ α, a ⊥ l，则 a ⊥ β。

几何意义：这是实现“面面垂直”向“线面垂直”转化的桥梁。它告诉我们，要证明一条直线垂直于一个平面，可以通过证明它垂直于两个垂直平面的交线来实现，前提是这条直线在其中一个平面内。

已知：直线 a ⊥ α, 直线 b ⊥ α。

求证：a // b。

证明：

1. 假设 a 与 b 不平行。由于 a 和 b 都垂直于平面 α，它们必然不相交（否则过一点有两条直线垂直于同一平面，矛盾），因此它们是异面直线。
2. 在直线 b 上任取一点 P，过 P 作直线 a' // a。
3. 因为 a ⊥ α，且 a' // a，所以 a' ⊥ α。
4. 此时，过点 P 有两条直线 b 和 a' 都垂直于平面 α。
5. 这与“过一点有且只有一条直线与已知平面垂直”的公理相矛盾。
6. 因此，假设不成立，原命题 a // b 成立。

思路解析：

• 在平面 α 内作直线 a ⊥ l（l 为交线）。
• 在平面 β 内作直线 b ⊥ l。
• 根据二面角的平面角定义，a 与 b 所成的角即为二面角 α-l-β 的平面角。
• 因为 α ⊥ β，所以二面角为 90°，即 a ⊥ b。
• 又因为 a ⊥ l，l ⊂ β, b ⊂ β, l ∩ b = O，所以 a ⊥ β。