三角函数的基本定义与倒数关系
在平面直角坐标系中，设 三角函数基本公式 的基石是任意角 α 的终边上任意一点 P(x, y)，它与原点的距离为 r = √(x² + y²) (r > 0)。基于此定义，我们可以推导出最基础的三角函数比值。
1.1 基本定义式
sin α = y / r cos α = x / r tan α = y / x
注：当 x=0 时，tan α 无意义；当 y=0 时，cot α 无意义。
1.2 倒数关系
sin α · csc α = 1 cos α · sec α = 1 tan α · cot α = 1
互为倒数的两个三角函数乘积为1。
1.3 商数关系
tan α = sin α / cos α cot α = cos α / sin α
1.4 平方关系（勾股定理推导）
| 公式名称 | 公式表达式 | 推导来源 |
|---|---|---|
| 正弦余弦关系 | sin²α + cos²α = 1 | x² + y² = r² 两边同除以 r² |
| 正割正切关系 | 1 + tan²α = sec²α | sin²α + cos²α = 1 两边同除以 cos²α |
| 余割余切关系 | 1 + cot²α = csc²α | sin²α + cos²α = 1 两边同除以 sin²α |
诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
诱导公式主要用于将任意角的三角函数转化为锐角三角函数。记忆的核心法则是：“奇变偶不变，符号看象限”。
- 奇变偶不变：指
k·90°中的k是奇数还是偶数。若k为奇数，则函数名改变（sin↔cos, tan↔cot）；若k为偶数，则函数名不变。 - 符号看象限：将
α看作锐角，判断原函数在k·90° ± α所在象限的正负号。
90° (π/2) 的倍数的诱导公式
sin(π/2 ± α) = cos α
cos(π/2 ± α) = ∓ sin α
tan(π/2 ± α) = ∓ cot α
cos(π/2 ± α) = ∓ sin α
tan(π/2 ± α) = ∓ cot α
sin(3π/2 ± α) = -cos α
cos(3π/2 ± α) = ± sin α
tan(3π/2 ± α) = ∓ cot α
cos(3π/2 ± α) = ± sin α
tan(3π/2 ± α) = ∓ cot α
π (180°) 的倍数的诱导公式
sin(π ± α) = ∓ sin α
cos(π ± α) = -cos α
tan(π ± α) = ± tan α
cos(π ± α) = -cos α
tan(π ± α) = ± tan α
2π (360°) 的倍数的诱导公式（终边相同角）
sin(2kπ + α) = sin α
cos(2kπ + α) = cos α
tan(2kπ + α) = tan α
cos(2kπ + α) = cos α
tan(2kπ + α) = tan α
其中 k ∈ Z
和差化积与积化和差公式
这一组公式在三角恒等变换、积分计算及物理波的叠加中极为重要。它们建立了和差与积之间的桥梁。
3.1 积化和差公式
sin α cos β = 1/2 [sin(α+β) + sin(α-β)]
cos α sin β = 1/2 [sin(α+β) - sin(α-β)]
cos α cos β = 1/2 [cos(α+β) + cos(α-β)]
sin α sin β = -1/2 [cos(α+β) - cos(α-β)]
cos α sin β = 1/2 [sin(α+β) - sin(α-β)]
cos α cos β = 1/2 [cos(α+β) + cos(α-β)]
sin α sin β = -1/2 [cos(α+β) - cos(α-β)]
3.2 和差化积公式
sin α + sin β = 2 sin[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]
sin α - sin β = 2 cos[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]
cos α + cos β = 2 cos[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]
cos α - cos β = -2 sin[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]
sin α - sin β = 2 cos[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]
cos α + cos β = 2 cos[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]
cos α - cos β = -2 sin[(α+β)/2] sin[(α-β)/2]
3.3 和差角公式（基础推导源）
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α tan β)
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α tan β)
倍角公式与半角公式
4.1 二倍角公式
由和角公式 sin(α+β) 和 cos(α+β) 中令 β=α 得到。
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
tan 2α = 2 tan α / (1 - tan²α)
cos 2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
tan 2α = 2 tan α / (1 - tan²α)
4.2 半角公式（降幂公式的逆运算）
sin²(α/2) = (1 - cos α) / 2
cos²(α/2) = (1 + cos α) / 2
tan(α/2) = sin α / (1 + cos α) = (1 - cos α) / sin α
cos²(α/2) = (1 + cos α) / 2
tan(α/2) = sin α / (1 + cos α) = (1 - cos α) / sin α
4.3 万能公式
令 t = tan(α/2)，则所有三角函数均可表示为 t 的有理式，这在积分换元法中非常有用。
sin α = 2t / (1 + t²)
cos α = (1 - t²) / (1 + t²)
tan α = 2t / (1 - t²)
cos α = (1 - t²) / (1 + t²)
tan α = 2t / (1 - t²)
正切定理与三角形中的三角函数
在解三角形问题中，除了正弦定理和余弦定理，正切定理也常被用于简化计算，特别是在已知两边及其夹角或两角及一边时。
5.1 正切定理
(a - b) / (a + b) = tan[(A - B)/2] / tan[(A + B)/2]
其中 a, b 为角 A, B 的对边。
5.2 三角形中的恒等式
- 若 A + B + C = π，则 tan A + tan B + tan C = tan A · tan B · tan C
- sin A + sin B + sin C = 4 cos(A/2) cos(B/2) cos(C/2)
- cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin(A/2) sin(B/2) sin(C/2)
三角函数的图像与性质概览
理解公式的几何意义有助于记忆。以下是 三角函数基本公式 对应函数的核心性质对比。
| 函数 | 定义域 | 值域 | 周期性 | 奇偶性 | 单调递增区间 |
|---|---|---|---|---|---|
| y = sin x | R | [-1, 1] | 2π | 奇函数 | [2kπ - π/2, 2kπ + π/2] |
| y = cos x | R | [-1, 1] | 2π | 偶函数 | [2kπ - π, 2kπ] |
| y = tan x | x ≠ kπ + π/2 | R | π | 奇函数 | (kπ - π/2, kπ + π/2) |
常见问题解答 (FAQ)
三角函数诱导公式的口诀是什么？
口诀为“奇变偶不变，符号看象限”。即当90°的倍数是奇数时，函数名改变（正弦变余弦，正切变余切等）；当90°的倍数是偶数时，函数名不变。符号则取决于将变量看作锐角时，原函数在对应象限的正负号。
如何推导二倍角公式？
二倍角公式可由两角和公式推导而来。例如 sin(2α) = sin(α+α) = sinαcosα + cosαsinα = 2sinαcosα。同理可推导 cos(2α) 和 tan(2α) 的公式。
三角函数在哪些领域有实际应用？
三角函数广泛应用于物理学（如波动、振动、交流电）、工程学（如建筑结构设计、信号处理）、天文学（如星体位置计算）、导航系统以及计算机图形学（如旋转矩阵、3D渲染）等领域。
万能公式有什么用？
万能公式将三角函数转换为有理分式，特别适用于求解包含三角函数的有理积分。通过令 t = tan(x/2)，可以将复杂的三角积分转化为有理函数积分，从而使用部分分式分解等方法求解。