从几何直观到代数本质，全面掌握圆内、圆外点与线段乘积的关系。本文详细拆解相交弦定理、切割线定理及割线定理，助你构建完整的圆幂知识体系。
在平面几何中，圆幂定理（Power of a Point Theorem）是一组描述点与圆之间位置关系及线段长度乘积性质的定理。它不仅是初中几何竞赛中的常客，也是高中解析几何中处理圆相关问题的有力工具。无论点P位于圆的内部、外部还是圆周上，只要过点P作一条直线与圆相交（或相切），那么点P到交点的距离之积是一个定值，这个定值被称为点P对圆的幂。
圆幂定理并非单一的一个公式，而是由三个密切相关的结论组成，它们根据点P的位置不同而呈现出不同的形态：
对应相交弦定理。若弦AB、CD交于点P，则 PA·PB = PC·PD。
对应切割线定理。若PT为切线，PAB为割线，则 PT² = PA·PB。
对应割线定理。若PAB、PCD均为割线，则 PA·PB = PC·PD。
这三个结论看似独立，实则同源。它们都可以通过相似三角形的性质推导出来，并且可以用统一的代数形式 OP² - r² 来表示（其中O为圆心，r为半径，P为定点）。理解这一点，是掌握圆幂定理的关键。
相交弦定理是圆幂定理在点位于圆内时的具体表现。它是解决圆内线段长度计算的基础。
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
如图，设圆O的两条弦AB和CD相交于点P，则有：
PA × PB = PC × PD
为什么会有这个结论？核心在于相似三角形。
当弦AB垂直于弦CD，且AB为直径时，定理依然成立。此时若CD被AB平分，则 PC = PD，公式变为 PA·PB = PC²。这为计算弦长的一半提供了简便方法。
当点P移动到圆外，且过点P的直线与圆只有一个公共点（即切线）时，我们得到了切割线定理。这是圆幂定理中极具美感的一部分，因为它将线段的乘积转化为了线段的平方。
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
设PT是圆O的切线，T为切点，PAB是圆O的割线，A、B为交点，则有：
PT² = PA × PB
“切线平方等于割线两段之积”。注意这里的PA和PB是指从点P到两个交点的距离，而不是弦长AB。这是一个常见的易错点。
若PT = 6，PA = 2，求PB的长度。
解：由 PT² = PA·PB，得 6² = 2·PB，即 36 = 2·PB，解得 PB = 18。
此时，弦长 AB = PB - PA = 18 - 2 = 16。
当点P在圆外，且过点P引出两条割线时，我们得到割线定理。它是相交弦定理在圆外的推广形式。
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
设PAB和PCD是圆O的两条割线，A、C为近点，B、D为远点，则有：
PA × PB = PC × PD
割线定理可以看作是切割线定理的“一般化”。如果我们将割线PCD绕点P旋转，直到C和D重合，那么PCD就变成了切线PT，此时 PC = PD = PT，割线定理就变成了切割线定理 PT² = PA·PB。这种极限思想是理解圆幂定理统一性的关键。
| 定理名称 | 点P位置 | 直线类型 | 公式形式 | 几何意义 |
|---|---|---|---|---|
| 相交弦定理 | 圆内 | 两弦相交 | PA·PB = PC·PD | 分线段之积相等 |
| 切割线定理 | 圆外 | 一切线一割线 | PT² = PA·PB | 切线平方等于割线积 |
| 割线定理 | 圆外 | 两割线 | PA·PB = PC·PD | 远点距×近点距相等 |
为了更深入地理解圆幂定理，我们需要引入圆幂的概念。设点P到圆心O的距离为d，圆的半径为r，则点P对圆O的幂定义为 P = d² - r²。
设弦AB、CD相交于点P。连接OA、OB。
延长OP交圆于E、F两点，则EF为直径。
由相交弦定理，PA·PB = PE·PF。
因为PE = r - OP，PF = r + OP（假设P在OF上），
所以 PA·PB = (r - OP)(r + OP) = r² - OP²。
注意：这里通常定义圆内幂为负值，即 OP² - r²。但在几何长度计算中，我们取其绝对值，即 r² - OP²。这证明了无论弦如何旋转，PA·PB始终等于 r² - OP²，是一个定值。
设割线PAB交圆于A、B，切线PT切圆于T。
连接OT、OP。在Rt△OTP中，由勾股定理得 OT² + PT² = OP²。
即 r² + PT² = OP²，所以 PT² = OP² - r²。
另一方面，由割线定理，PA·PB = (OP - OA)(OP + OB) ? 不完全是。
更严谨的推导：利用相似三角形△PTA ∽ △PBT。
∠P公共，∠PTA = ∠PBT（弦切角等于夹弧所对圆周角）。
所以 PT/PB = PA/PT ⇒ PT² = PA·PB。
结合 PT² = OP² - r²，我们得到 PA·PB = OP² - r²。
这证明了圆外点的幂为正，且等于切线长的平方，也等于任意割线两段之积。
理论结合实践，以下是几类高频考点的例题解析。
题目： 圆O的两条弦AB、CD相交于点P，已知PA=2，PB=6，PC=3，求CD的长。
解析：
根据相交弦定理：PA·PB = PC·PD
2 × 6 = 3 × PD
12 = 3 × PD ⇒ PD = 4
所以 CD = PC + PD = 3 + 4 = 7。
答案： 7
题目： 从圆外一点P引圆的切线PT，切点为T，引割线PAB交圆于A、B，且PA=2，AB=4。求PT的长。
解析：
由题意知，PA=2，PB = PA + AB = 2 + 4 = 6。
根据切割线定理：PT² = PA·PB
PT² = 2 × 6 = 12
PT = √12 = 2√3。
答案： 2√3
题目： 如图，圆O的半径为5，弦AB长为8，点P是AB上一点，且AP=2。点Q是圆上一点，且PQ⊥AB。求PQ的长。
解析：
延长QP交圆于另一点R。由于PQ⊥AB，根据垂径定理的推论，AB平分弦QR吗？不一定。但我们可以利用相交弦定理。
设PQ=x，PR=y。由相交弦定理，AP·PB = PQ·PR。
AP=2，PB=AB-AP=8-2=6。
所以 2×6 = x·y ⇒ xy=12。
另外，我们需要找到x和y的关系。作OM⊥QR于M。由于PQ⊥AB，四边形OMPM'（假设M'为AB中点）... 这种方法较复杂。
更简便方法： 连接OP。在△OAP中，利用余弦定理或坐标法。或者，延长QP交圆于R。由于AB是弦，P在AB上。PQ·PR = PA·PB = 12。
我们需要求PQ。注意到PQ⊥AB。设圆心O到AB距离为d。AM=4，OA=5，则d=3。P在AB上，AP=2，则PM'=1（M'为AB中点）。OP² = d² + 1² = 3²+1²=10。
点P对圆的幂为 OP² - r² = 10 - 25 = -15。（圆内为负）
长度积为 15。即 PQ·PR = 15。
等等，前面算出PA·PB=12。哪里错了？
检查：PA=2, PB=6, Product=12。正确。
OP²=10, r²=25, Power = 10-25 = -15。绝对值15。
矛盾？啊，相交弦定理是 PA·PB = PC·PD。这里C,D是过P的任意弦。PQ, R是过P的弦。所以 PQ·PR 应该等于 PA·PB = 12。
那为什么幂算出来是15？
OP² = OM² + MP²。M是AB中点。AM=4。P在AB上，AP=2。所以P到M的距离是 |4-2|=2？不，A到M是4，A到P是2，所以P在A和M之间。PM = 4-2=2。
OM² = OA² - AM² = 25 - 16 = 9。OM=3。
OP² = 3² + 2² = 9 + 4 = 13。
幂的绝对值 = |13 - 25| = 12。
吻合了！PQ·PR = 12。
由于PQ⊥AB，且AB不是直径（除非圆心在AB上，这里OM=3≠0），所以PQ≠PR。
我们需要求PQ。连接OP。在Rt△OMP中，OP=√13。
在Rt△OPQ中？不，Q在圆上，PQ⊥AB。O到PQ的距离？
作ON⊥PQ于N。则N是PQ中点。四边形ONPM是矩形（因为∠OMP=∠MPN=∠PNO=90°? 不一定，AB⊥PQ，所以∠MPN=90°。OM⊥AB，ON⊥PQ。所以∠OMP=90, ∠ONP=90。∠MPN=90。所以ONPM是矩形。
所以 ON = MP = 2。PN = OM = 3。
在Rt△ONQ中，OQ=5，ON=2。NQ = √(25-4) = √21。
PQ = PN + NQ ? 或者 |PN - NQ|?
P在圆内。N是PQ中点。P在N和Q之间？还是N在P和Q之间？
ON=2, OM=2. P到AB距离0. P到PQ距离0.
向量法：P相对于O的坐标。M(0,3), A(-4,3), B(4,3). P(-2,3).
PQ垂直AB，所以PQ是竖直线 x=-2。
圆方程 x²+y²=25. x=-2 ⇒ 4+y²=25 ⇒ y²=21 ⇒ y=±√21.
P点y坐标3. Q点y坐标 √21 或 -√21.
PQ长度 = |√21 - 3| 或 |-√21 - 3|.
通常PQ指线段长。Q在圆上。P在圆内。PQ是弦的一半吗？不，PQ只是弦的一部分。
题目问PQ长。PQ⊥AB。Q是圆上一点。通常指P到Q的距离。
如果Q在P上方，yQ=√21≈4.58. yP=3. PQ=1.58.
如果Q在P下方，yQ=-√21≈-4.58. PQ=7.58.
题目未指定Q位置。但PQ·PR=12. PR是另一段.
若PQ=√21-3, PR=√21+3. Product = 21-9=12. Correct.
所以PQ可以是 √21-3 或 √21+3.
在搜索“圆幂定理”时，用户往往还会关注以下周边知识点。我们整理了高频问答，帮助您扫除学习盲区。
在高中解析几何中，圆幂定理可以用于快速求解切线方程、判断点与圆的位置关系，以及在处理圆锥曲线（如椭圆、双曲线）的极点与极线问题时提供几何直观。例如，极线方程的推导就与圆幂定理有异曲同工之妙。
第一步：看点P的位置。圆内用相交弦，圆外用切割或割线。
第二步：看直线数量。圆外只有一条切线用切割线定理；有两条割线用割线定理；一条切线一条割线用切割线定理。
口诀：“内交外割切平方”。
可以。对于椭圆，存在类似的“椭圆幂”概念，但形式更复杂，涉及仿射变换。不过，在初中和高中阶段，主要聚焦于圆的情况。了解圆幂定理有助于理解更一般的圆锥曲线性质。
当题目中出现“圆”、“弦”、“切线”、“割线”以及“线段乘积”或“比例中项”时，应首先考虑圆幂定理。特别是当出现“共点”或“共线”的线段乘积相等时，这是最强的信号。
圆幂定理三大结论——相交弦定理、切割线定理和割线定理，构成了平面几何中关于圆的重要基石。它们不仅形式优美，而且内在逻辑统一，都源于相似三角形的性质和圆的对称性。
掌握圆幂定理，关键在于：
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