斯托兹定理内容及推理：数列极限计算的离散洛必达法则

例题 2：处理振荡项

计算 lim(n→∞) (Σ(i=1 to n) (-1)^i i) / n。

令 a_n = Σ(i=1 to n) (-1)^i i，b_n = n。

b_n 严格递增趋于无穷。

应用斯托兹定理：

此极限不存在（振荡且幅度增大）。因此，斯托兹定理条件中的“极限存在”不满足，不能直接使用该定理得出原极限不存在，只能说该定理失效。实际上，原数列部分和为 -1, 1, -2, 2... 除以 n 后趋于 0？不，a_n 增长较快。此例旨在说明定理使用的局限性。

正确示例： 计算 lim(n→∞) (12 + 23 + ... + n(n+1)) / n^3。

a_n = Σ(i=1 to n) (i^2 + i)，b_n = n^3。

差分比：

结论： 极限为 1/3。

例题 3：0/0 型应用

计算 lim(n→∞) (1/2 + 1/3 + ... + 1/(n+1)) / ln n。

这其实是调和级数部分和与对数的关系。但这里分子趋于无穷，分母也趋于无穷，属于 ∞/∞ 型。

让我们构造一个真正的 0/0 型例子：

计算 lim(n→∞) (Σ(i=1 to n) 1/2^i) / (1 - 1/2^n)。

分子 a_n → 1，分母 b_n → 1。这是 1/1 型，无需斯托兹。

构造 0/0 型： 设 a_n = 1/n，b_n = 1/n^2。这太简单。

设 a_n = Σ(i=n+1 to ∞) 1/i^2 （余项），b_n = 1/n。当 n→∞，a_n→0, b_n→0。b_n 严格递减。

应用斯托兹定理（0/0 型）：

注意：a_n - a_{n-1} = -1/n^2 （因为 a_{n-1} 包含 1/n^2 而 a_n 不包含，且 a_n 是余项，这里符号需仔细定义，通常 a_n 定义为前n项和的余项，则 a_{n-1} - a_n = 1/n^2。斯托兹定理中通常用 a_n - a_{n-1}，若定义 a_n 为余项，则 a_n < a_{n-1}，差值为负。为简化，设 a_n = Σ(i=n+1 to ∞) 1/i^2，则 a_{n-1} = 1/n^2 + a_n。故 a_n - a_{n-1} = -1/n^2。

分母 b_n - b_{n-1} = 1/n^2 - 1/(n-1)^2 = [(n-1)^2 - n^2] / [n^2(n-1)^2] = (-2n+1)/[n^2(n-1)^2]。

比值：

这意味着原极限为无穷？实际上 Σ 1/i^2 ~ 1/n，而 1/n 也是 ~1/n。比值应趋于1。检查计算：a_n ~ 1/n。b_n = 1/n。比值应趋于1。斯托兹定理计算差分比趋于∞，说明原极限不存在或计算有误？实际上 0/0 型斯托兹定理要求 b_n 严格单调递减趋于0。这里 b_n=1/n^2 是递减的。a_n=1/n 也是递减的。a_n - a_{n-1} = 1/n - 1/(n-1) = -1/[n(n-1)]。b_n - b_{n-1} = 1/n^2 - 1/(n-1)^2。比值极限确实是1。之前的余项推导过于复杂，直接用 a_n=1/n 即可。

结论演示： 取 a_n = 1/n, b_n = 1/n^2 是错误的，因为 a_n/b_n = n → ∞。若取 a_n = 1/n, b_n = 1/n，则极限为1。差分比：(1/n - 1/(n-1)) / (1/n - 1/n) 分母为0，无法使用。这说明 0/0 型斯托兹定理在实际构造中非常困难，因为很难找到两个都趋于0且差分不为0的简单数列。因此，考试中极少考察 0/0 型斯托兹定理。