在数学的浩瀚海洋中，三角函数不仅是连接代数与几何的桥梁，更是解析周期性现象的核心工具。无论是高中数学的必修基础，还是大学物理、工程力学中的关键模型，三角函数公式总结表都是学习者案头必备的工具书。本页面旨在为您提供一份详尽、结构化且易于检索的公式大全，涵盖从基本恒等式到复杂变换的每一个关键环节。
理解三角函数的起点在于单位圆。在平面直角坐标系中，设角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(x, y)。则定义如下：
| 函数名 | 定义 | 几何意义 | 定义域 | 值域 |
|---|---|---|---|---|
| 正弦 sin α | y | 点P的纵坐标 | R | [-1, 1] |
| 余弦 cos α | x | 点P的横坐标 | R | [-1, 1] |
| 正切 tan α | y/x (x≠0) | 角α终边与直线x=1交点的纵坐标 | {x|x≠π/2+kπ, k∈Z} | R |
| 余切 cot α | x/y (y≠0) | 角α终边与直线y=1交点的横坐标 | {x|x≠kπ, k∈Z} | R |
| 正割 sec α | 1/x (x≠0) | — | {x|x≠π/2+kπ, k∈Z} | (-∞,-1]∪[1,+∞) |
| 余割 csc α | 1/y (y≠0) | — | {x|x≠kπ, k∈Z} | (-∞,-1]∪[1,+∞) |
这些关系是进行三角恒等变换的基石，必须熟练掌握：
诱导公式主要用于将任意角的三角函数转化为锐角三角函数。核心口诀为“奇变偶不变，符号看象限”。
将α视为锐角。例如计算 sin(3π/2 + α)，3是奇数，故sin变为cos。3π/2在y轴负半轴，正弦值为负，故结果为 -cos α。
这一部分是解决复杂三角运算的核心，常用于化简、求值和证明。
| 公式名称 | 正弦 (sin) | 余弦 (cos) | 正切 (tan) |
|---|---|---|---|
| 和 | sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ | cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ | tan(α+β) = (tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) |
| 差 | sin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ | cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ | tan(α-β) = (tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ) |
注意：cos(α±β)的展开式中，右边两项的符号与左边相反，且都是乘积形式，记忆时可联想“余余正正，符号相反”。
由两角和公式令β=α推导而来：
深度解析：cos 2α 的三种形式在降幂和因式分解中各有用途。例如，当题目中出现 sin²α 或 cos²α 时，优先使用含 cos 2α 的形式进行降幂处理。
由 cos 2α 的变形公式推导：
这些公式统称为降幂公式，在积分运算和三角函数图像变换（如y=Asin(ωx+φ)+b）中极为常用。
这两个公式组互为逆运算，但系数不同，是解决三角函数求和、求积问题的利器。
| sin α cos β = 1/2 [sin(α+β) + sin(α-β)] |
| cos α sin β = 1/2 [sin(α+β) - sin(α-β)] |
| cos α cos β = 1/2 [cos(α+β) + cos(α-β)] |
| sin α sin β = -1/2 [cos(α+β) - cos(α-β)] |
| sin α + sin β = 2 sin((α+β)/2) cos((α-β)/2) |
| sin α - sin β = 2 cos((α+β)/2) sin((α-β)/2) |
| cos α + cos β = 2 cos((α+β)/2) cos((α-β)/2) |
| cos α - cos β = -2 sin((α+β)/2) sin((α-β)/2) |
应用场景：当遇到不同角度的正弦或余弦相加/减，且无法直接合并时，尝试使用此组公式将其转化为乘积形式，往往能发现约分或化简的机会。
反三角函数是三角函数在限定区间上的反函数，主要用于解三角方程和求角度。
定义域：[-1, 1]，值域：[-π/2, π/2]。图像关于原点对称，是奇函数。
定义域：[-1, 1]，值域：[0, π]。图像无奇偶性，但满足 arcsin x + arccos x = π/2。
定义域：R，值域：(-π/2, π/2)。图像关于原点对称，是奇函数，且当 x→∞ 时，y→π/2。
定义域：R，值域：(0, π)。满足 arctan x + arccot x = π/2。
A: 常用口诀为“奇变偶不变，符号看象限”。即当90°的倍数是奇数时，函数名改变（正弦变余弦，正切变余切）；是偶数时，函数名不变。符号取决于将角视为锐角时原函数在该象限的正负。
A:
1. 正弦倍角：sin2α = 2sinαcosα（系数2，两函数相乘）
2. 余弦倍角：cos2α = cos²α - sin²α（同名相减，余弦在前）
3. 正切倍角：tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)（分子同正弦，分母1减余弦变体）
A:
1. 目的不同：和差化积用于将和差转化为积，常用于化简求值；积化和差用于将积转化为和差，常用于积分或波形叠加分析。
2. 系数不同：积化和差公式右边有1/2系数，和差化积公式左边有2系数。
3. 结构不同：和差化积的结果是“积”，积化和差的结果是“和差”。
掌握公式只是第一步，灵活运用才是关键。以下是三种常见的解题策略：
当题目中出现不同角度的三角函数时（如 sin 2α 和 cos α），优先利用倍角或半角公式将它们统一为同一个角度，便于合并同类项。
当题目中同时出现正弦、余弦、正切等多种函数时，尝试利用商数关系或倒数关系，将所有函数统一为正弦和余弦，简化运算结构。
遇到二次项（如 sin²α, cos²α），立即想到降幂公式，将其转化为一次项的余弦函数。反之，若需构造完全平方式，可考虑升次。