定理定义
在任意三角形 ABC 中，设点 D 为边 BC 上的一点，连接 AD。斯台沃特定理揭示了边长 AB (c)、AC (b)、BC (a) 与线段 AD (d) 以及 BD (m)、DC (n) 之间的数量关系。
斯台沃特定理概述
历史背景
该定理以英国数学家 马修·斯台沃特 (Matthew Stewart) 命名。他在1746年发表了这一定理，因此得名。尽管类似的关系在更早的几何文献中已有提及，但斯台沃特的系统性阐述使其广为人知。
核心地位
斯台沃特定理是平面几何中的“万能公式”之一。它不仅涵盖了中线长公式、角平分线长公式，还与托勒密定理、勾股定理有着深刻的内在联系，是解决复杂几何计算问题的强力工具。
公式表达与推导
斯台沃特公式
若记 AB=c, AC=b, BC=a, AD=d, BD=m, DC=n，则有：
| 符号表示 | 文字描述 |
|---|---|
| man + dad = bmb + cnc | “父乘子加子乘父，等于母乘邻边加邻边乘母” |
记忆口诀：“妈妈(Man)戴(Dad)爸爸(Bab)”。其中 man 指 m·a·n，dad 指 d·a·d，bab 指 b·b·m + c·c·n (此处口诀为近似助记，实际为 b²m + c²n)。
更严谨的代数形式：
b²m + c²n = a(d² + mn)
推导方法：利用余弦定理
设 ∠ADB = θ，则 ∠ADC = 180° - θ。
- 在 △ABD 中，由余弦定理得：
c² = d² + m² - 2dm cosθ ① - 在 △ACD 中，由余弦定理得：
b² = d² + n² - 2dn cos(180°-θ)
即 b² = d² + n² + 2dn cosθ ② - 为了消去 cosθ，我们将 ① 式乘以 n，② 式乘以 m：
- nc² = nd² + nm² - 2dmn cosθ
- mb² = md² + mn² + 2dmn cosθ
- 两式相加：
- mb² + nc² = d²(m+n) + mn(m+n)
- 因为 m+n = a，所以：
- b²m + c²n = a(d² + mn)，得证。
常见特殊情况
1. 中线 (m=n)
当 D 为 BC 中点时，d 为中线 ma。
公式简化为：2(b² + c²) = a(4d² + a²/2) 或 b² + c² = 2(d² + m²)。
2. 高线 (d⊥BC)
当 AD 为高时，利用勾股定理可直接推导，此时斯台沃特定理退化为勾股定理的组合。
斯台沃特定理在角平分线中的应用
角平分线是几何中最常见的辅助线之一。当斯台沃特定理遇到角平分线时，会产生一个极具实用价值的推论。
步骤 1：结合角平分线定理
若 AD 是 △ABC 的角平分线，根据角平分线定理，我们有：
m/n = c/b ⇒ m = ac/(b+c), n = ab/(b+c)
步骤 2：代入斯台沃特公式
将 m 和 n 的表达式代入斯台沃特公式 b²m + c²n = a(d² + mn) 中。
步骤 3：化简得到角平分线长公式
经过代数化简，我们得到著名的角平分线长公式：
t_a² = bc - mn = bc [1 - (a/(b+c))²]
或者写作：t_a = √[bc(1 - (a/(b+c))²)]
经典例题与实战演练
例题 1：基础计算
题目：在 △ABC 中，AB=5, AC=6, BC=7。AD 是角平分线，求 AD 的长。
解析：
1. 由角平分线定理：BD/DC = AB/AC = 5/6。
2. 因为 BC=7，所以 BD=3.5, DC=3.5。
3. 使用角平分线长公式：
AD² = AB·AC - BD·DC
AD² = 5×6 - 3.5×3.5 = 30 - 12.25 = 17.75
AD = √17.75 = (√71)/2
例题 2：逆定理应用
题目：已知 △ABC 中，D 在 BC 上，且 AB²·DC + AC²·BD = BC(AD² + BD·DC)。求证：AD 是角平分线或外角平分线。
解析：
1. 观察已知等式，这正是斯台沃特定理的变形。
2. 根据斯台沃特定理的唯一性，满足该关系的点 D 只能是角平分线足或外角平分线足。
3. 结合图形位置，若 D 在内部，则为内角平分线。
例题 3：综合几何证明
题目：证明：三角形两边之积等于第三边上的高与外接圆直径之积，减去第三边被角平分线分成的两段之积。
解析：
1. 设 AD 为角平分线，AE 为外接圆直径。
2. 连接 BE，利用相似三角形 △ABE ~ △ADC。
3. 可得 AB·AC = AD·AE。
4. 结合斯台沃特定理推导出的 AD·AE = AB·AC + BD·DC (注意此处为托勒密定理推论，斯台沃特定理主要用于计算长度，此题常结合托勒密定理考察)。
常见问题解答 (FAQ)
斯台沃特定理和角平分线定理有什么区别？
角平分线定理主要描述角平分线分对边所得两线段与邻边成比例（m/n = c/b），是一个比例关系。而斯台沃特定理是一个关于长度的等式关系（b²m + c²n = a(d² + mn）），它给出了切氏线长度的精确计算公式。两者结合可以推导出角平分线的长度公式。
斯台沃特定理在高考或竞赛中重要吗？
非常重要。虽然它不是教材中的直接考点，但在数学竞赛、强基计划以及高考压轴题的辅助线构造中，斯台沃特定理是一个高效的解题工具。它能快速将几何问题转化为代数计算，避免繁琐的相似三角形证明。
如何记忆斯台沃特定理的公式？
推荐使用“Man + Dad = Bab”口诀。其中 Man 代表 m·a·n，Dad 代表 d·a·d，Bab 代表 b²·m + c²·n（这里 Bab 是助记，实际是 b 的平方乘 m 加上 c 的平方乘 n）。或者记忆标准形式：b²m + c²n = a(d² + mn)，即“邻边平方乘邻段 = 底边(切氏线平方乘底段 + 底段乘积)”。
斯台沃特定理可以推广到多边形吗？
斯台沃特定理主要针对三角形。但在向量几何或复数平面中，可以通过向量加法将其思想推广到更复杂的多边形或空间几何问题中，不过形式会变得非常复杂，通常不直接使用原公式。