例题 1：证明方程有根
题目： 证明方程 x^3 - 4x^2 + 1 = 0 在区间 (0, 1) 内至少有一个实根。
解析：
- 设辅助函数 f(x) = x^3 - 4x^2 + 1。
- 验证连续性：f(x) 是多项式函数，在 [0, 1] 上连续。
- 计算端点值：
- f(0) = 1 > 0
- f(1) = 1 - 4 + 1 = -2 < 0
- 虽然这里使用的是零点定理，但如果我们要用罗尔定理证明根的个数唯一性或相关性质，我们可以构造导数。例如，证明 5x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 在 (0,1) 无实根，通常反证法结合罗尔定理。
- 修正例题（更贴合罗尔定理）： 设 f(x) 在 [0,1] 连续，(0,1) 可导，且 f(0)=f(1)=0。证明存在 ξ∈(0,1) 使得 f'(ξ) + f(ξ) = 0。
- 解法： 构造辅助函数 F(x) = e^x f(x)。则 F(0)=0, F(1)=0。由罗尔定理，存在 ξ∈(0,1) 使 F'(ξ)=0。即 e^ξ f(ξ) + e^ξ f'(ξ) = 0，消去 e^ξ 得证。
例题 2：三角函数不等式
题目： 证明当 x > 0 时，sin x < x。
解析：
- 设 f(t) = sin t，考虑区间 [0, x] (其中 x>0)。
- f(t) 在 [0, x] 上连续，在 (0, x) 内可导。
- 虽然 f(0) ≠ f(x)，但此题更适合用拉格朗日中值定理。若强行用罗尔定理思路，可考察 g(x) = x - sin x。
- g(0) = 0。g'(x) = 1 - cos x。
- 当 x ∈ (0, 2π) 时，cos x < 1，故 g'(x) > 0，函数单调递增，故 g(x) > g(0) = 0，即 x > sin x。
注：罗尔定理更多用于证明“存在某点导数为0”，从而推导函数的性质。
技巧：如何构造辅助函数
在使用罗尔定理证明 f'(ξ) + k f(ξ) = 0 这类问题时，构造辅助函数是关键。
| 待证结论形式 |
辅助函数 F(x) 构造 |
原理说明 |
| f'(ξ) + f(ξ) = 0 |
F(x) = e^x f(x) |
乘积求导法则逆运算 |
| f'(ξ) + frac{n}{ξ}f(ξ) = 0 |
F(x) = x^n f(x) |
幂函数求导特性 |
| f'(ξ) + frac{f(ξ)}{ξ} = 0 |
F(x) = x f(x) |
简单乘积形式 |
| f'(ξ) sin ξ + f(ξ) cos ξ = 0 |
F(x) = f(x) sin x |
正弦乘积求导 |