在几何学与物理学中，重心定理及公式是连接抽象数学模型与实体物理世界的关键桥梁。重心（Center of Gravity, CG）不仅是几何图形的几何中心，更是物体重力作用的等效集中点。理解重心定理，意味着掌握了分析物体平衡、稳定性以及运动状态的基础钥匙。
对于均匀密度的物体，其重心与质心（Center of Mass）重合。在二维平面几何中，重心定理揭示了多边形内部结构的对称性与平衡性。例如，三角形的重心是其三条中线的交点，这一性质不仅具有极高的美学价值，更在工程结构分析中发挥着不可替代的作用。
几何重心：仅由形状决定，与材料无关。均匀薄板的重心即为其几何中心。
物理质心：由质量分布决定。若物体密度不均匀，质心会偏向质量较大的一侧。
物体在重力作用下保持平衡的条件是：支撑面必须包含重心的垂线投影。若重心垂线超出支撑面，物体将倾倒。
若图形具有对称轴或对称中心，其重心必然位于对称轴或对称中心上。这是简化重心公式计算的重要技巧。
三角形是平面几何中最基本的多边形，其重心定理的应用最为广泛且直观。三角形重心不仅具有独特的几何性质，还在解决复杂几何证明题时提供强大的辅助线思路。
设三角形三个顶点的坐标分别为 ，，，则其重心 的坐标计算公式为：
| 变量 | 公式表达 | 物理/几何意义 |
|---|---|---|
| X 坐标 | 三个顶点横坐标的算术平均值 | |
| Y 坐标 | 三个顶点纵坐标的算术平均值 | |
| 向量形式 | 重心向量等于顶点向量和的三分之一 |
设 为 的重心， 分别为 中点。连接 ，则 且 。
由于 在中线 上，且 ，我们可以通过相似三角形 (需构造辅助线) 或向量法进行证明。
向量法证明：
设原点为 ，。
中线 中点 的向量为 。
若 分 为 2:1，则 ? 不对，应使用定比分点公式。
正确推导：。
验证 是否在 上：。
。
可见 ，故 。证毕。
题目： 在 中，。求重心 到顶点 的距离。
解析：
首先判断三角形形状，，故 为直角三角形，。
斜边 上的中线 。
根据重心性质，。
答案： 。
当图形从三角形扩展为四边形或更复杂的多边形时，重心定理的应用变得更加灵活。核心思想是“化整为零”，将复杂图形分解为已知重心的简单图形。
任意四边形 的重心并非对角线交点。其重心可以通过以下两种方法确定：
对于有空洞或不规则缺口的图形，可以使用“负面积法”。将空洞视为具有“负面积”的图形，参与加权平均计算。
公式：
其中 为实体面积， 为空洞面积， 分别为各自重心坐标。
平行四边形的重心即为其对角线的交点，也是几何中心。坐标为四个顶点坐标的平均值。
梯形重心位于中位线上。设上底为 ，下底为 ，高为 ，重心到下底的距离 。
对于非均匀物体或连续分布的曲线、曲面，重心公式需要从离散求和过渡到积分形式。这是微积分在几何与物理中的重要应用。
| 对象类型 | X 坐标公式 | Y 坐标公式 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 平面区域 D | 为面密度，均匀时约去 | ||
| 空间立体 V | ... | 体密度 | |
| 曲线 L | 线密度 ，弧长元素 |
帕普斯定理提供了计算旋转体体积和表面积的高效方法，其核心依赖于重心的运动轨迹。
重心定理及公式不仅是数学题的考点，更是解决现实工程问题的利器。从建筑结构设计到航空航天器姿态控制，重心的计算至关重要。
在高层建筑和桥梁设计中，必须确保结构的重心投影落在基底范围内。通过调整配重和结构布局，优化重心位置，以抵抗风荷载和地震作用。
汽车的质心高度直接影响其稳定性。SUV 由于重心较高，更容易在急转弯时侧翻。工程师通过降低电池组位置（电动车）或优化悬挂系统来降低重心。
火箭飞行中，燃料消耗导致质量分布变化，重心随之移动。必须通过矢量喷管或尾舵实时调整，使推力矢量通过瞬时重心，防止火箭翻滚。
运动员通过调整肢体姿态改变身体重心，以保持平衡或完成高难度动作。例如，跳高时的“背越式”技术，使身体重心穿过横杆下方，从而提高过杆效率。
对重心的研究贯穿了人类文明史。从阿基米德的静力学奠基到近代力学的完善，无数科学家为重心定理的发展做出了贡献。
公元前3世纪，阿基米德在《平面图形的平衡》中系统研究了杠杆原理和重心概念。他证明了三角形、抛物线弓形等规则图形的重心位置，奠定了静力学的基础。
古希腊数学家，研究了圆锥曲线的性质，其工作为后来重心坐标的引入提供了几何背景。
虽然牛顿主要贡献在动力学，但他对质心概念的清晰界定，使得重心与质心的区分在经典力学体系中得到确立。
18世纪，欧拉引入了重心坐标（Barycentric coordinates），使得重心的计算可以脱离具体的几何图形，推广到任意维度的单纯形。
不一定。例如圆环、L形支架或空心球体，其重心位于几何中心，但该点可能在物体外部（即空心部分）。重心是力学等效点，不一定需要实际物质存在。
可以。在直角坐标系中，顶点坐标可以是负数，公式依然适用。计算结果的重心坐标也可能为负数，表示其位于坐标轴的负半轴区域。
实验法：用细线悬挂物体，沿悬线方向画直线；改变悬挂点，再画一条直线。两线交点即为重心。这是利用“二力平衡时，重力作用线必过悬挂点”的原理。
非常重要。它是解决静力学平衡、力矩计算、刚体转动等问题的基础。特别是在处理非质点物体（如杆、板、球壳）的平衡问题时，必须明确重心的位置。