韦达定理所有公式详解：从入门到精通的终极指南

1. 一元二次方程中的韦达定理

对于标准形式的一元二次方程 ax² + bx + c = 0 (其中 a ≠ 0)，如果其判别式 Δ = b² - 4ac ≥ 0，方程有两个实数根 x₁ 和 x₂，则根与系数满足以下关系：

记忆技巧：“两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数。”

2. 一元三次方程中的韦达定理

对于一般形式的一元三次方程 ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0)，设其三个根为 x₁, x₂, x₃，则：

注意符号的变化规律：奇次项系数和为负，偶次项系数积为正（或者说，第k个基本对称多项式等于 (-1)^k (a_{n-k}/a_n)）。

3. 一元n次方程的一般形式

推广到任意n次多项式方程 aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ = 0，设其n个根为 x₁, x₂, ..., xₙ，则韦达定理的所有公式可以统一表述为：

其中，∑(xᵢ) 表示所有根的一次方之和，∑(xᵢxⱼ) 表示所有两两根之积之和，以此类推。

例题 1：基础变形

题目：已知 x₁, x₂ 是方程 2x² - 4x - 3 = 0 的两个根，不求方程的根，计算下列各式的值：

(1) x₁² + x₂²

(2) 1/x₁ + 1/x₂

(3) (x₁ - 1)(x₂ - 1)

解析：

由韦达定理得：

(1) x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 2² - 2(-3/2) = 4 + 3 = 7

(2) 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂) / (x₁x₂) = 2 / (-3/2) = -4/3

(3) (x₁ - 1)(x₂ - 1) = x₁x₂ - (x₁ + x₂) + 1 = -3/2 - 2 + 1 = -5/2

例题 2：圆锥曲线综合

题目：过点 P(1, 1) 作直线 l 交椭圆 x²/4 + y²/2 = 1 于 A, B 两点，若 P 为线段 AB 的中点，求直线 l 的方程。

解析：

设直线 l 的斜率为 k，则方程为 y - 1 = k(x - 1)，即 y = kx + (1 - k)。

联立椭圆方程：x²/4 + [kx + (1-k)]²/2 = 1

整理得：(1 + 2k²)x² + 4k(1-k)x + 2(1-k)² - 4 = 0

设 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)，则由韦达定理：

因为 P(1, 1) 是中点，所以 (x₁ + x₂)/2 = 1，即 x₁ + x₂ = 2。

故：-4k(1-k) / (1 + 2k²) = 2

解得：-2k + 2k² = 1 + 2k² ⇒ -2k = 1 ⇒ k = -1/2

所以直线方程为 y - 1 = -1/2 (x - 1)，即 x + 2y - 3 = 0。

注：此题若不解韦达定理，直接代入中点坐标公式“点差法”亦可，但韦达定理思路更具通用性。

例题 3：含参方程根的分布

题目：关于 x 的方程 x² + (m-2)x + 5-m = 0 的两根都大于 2，求实数 m 的取值范围。

解析：

设 f(x) = x² + (m-2)x + 5-m。要使两根都大于 2，需满足三个条件：

1. Δ ≥ 0：(m-2)² - 4(5-m) ≥ 0 ⇒ m² - 4m + 4 - 20 + 4m ≥ 0 ⇒ m² ≥ 16 ⇒ m ≥ 4 或 m ≤ -4
2. 对称轴 x₀ > 2：-(m-2)/2 > 2 ⇒ -m + 2 > 4 ⇒ -m > 2 ⇒ m < -2
3. f(2) > 0：4 + 2(m-2) + 5 - m > 0 ⇒ 4 + 2m - 4 + 5 - m > 0 ⇒ m + 5 > 0 ⇒ m > -5

取交集：(m ≥ 4 或 m ≤ -4) 且 (m < -2) 且 (m > -5)

最终结果：-5 < m ≤ -4