sin(A+B) 和 sin(A-B) 的区别是什么？

sin(A+B) = sinA cosB + cosA sinB，而 sin(A-B) = sinA cosB - cosA sinB。区别在于第二项的符号，加法公式中间是加号，减法公式中间是减号。

cos(A+B) 和 cos(A-B) 的区别是什么？

cos(A+B) = cosA cosB - sinA sinB，而 cos(A-B) = cosA cosB + sinA sinB。注意余弦的和差公式中正弦乘积项的符号与加法/减法相反，即‘加变减，减变加’。

tan(A+B) 公式中如果分母为0怎么办？

如果 cos(A+B) = 0，即 A+B = kπ + π/2 (k为整数)，此时 tan(A+B) 无定义。在公式 tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanA tanB) 中，如果 1 - tanA tanB = 0，即 tanA tanB = 1，则分母为零，公式不适用。

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三角函数的加减法公式全解析

从基础定义到高级应用，深入理解正弦、余弦、正切的和差角公式，掌握高中数学与大学微积分的核心基石。

核心公式一览

三角函数的加减法公式，也称为和差角公式，是三角恒等变换中最基础且最重要的公式组。它们描述了两个角的和或差的三角函数值与这两个角各自的三角函数值之间的关系。

⚡ 正弦和差公式

sin(A + B) = sinA·cosB + cosA·sinB
sin(A - B) = sinA·cosB - cosA·sinB

记忆要点：正弦是“交叉相乘，符号相同”。

⚡ 余弦和差公式

cos(A + B) = cosA·cosB - sinA·sinB
cos(A - B) = cosA·cosB + sinA·sinB

记忆要点：余弦是“同名相乘，符号相反”。

⚡ 正切和差公式

tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA·tanB)
tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA·tanB)

记忆要点：正切公式分子是“和/差”，分母是“1 ∓ 积”。

公式推导逻辑

理解推导过程比死记硬背更重要。这里我们采用最经典的欧拉公式或单位圆几何法来推导余弦的和角公式，其他公式由此衍生。

1. 利用复数乘法推导 cos(A+B)

根据欧拉公式 e^(ix) = cos(x) + i·sin(x)，我们可以写出：

e^(iA) = cosA + i·sinA
e^(iB) = cosB + i·sinB

将两式相乘：

e^(iA) · e^(iB) = e^(i(A+B)) = cos(A+B) + i·sin(A+B)

另一方面，直接展开左边：

(cosA + i·sinA)(cosB + i·sinB) = (cosA·cosB - sinA·sinB) + i(sinA·cosB + cosA·sinB)

比较实部和虚部，即可得到：

实部：cos(A+B) = cosA·cosB - sinA·sinB
虚部：sin(A+B) = sinA·cosB + cosA·sinB

2. 推导减法公式

将 B 替换为 -B，利用奇偶性：

cos(-B) = cosB
sin(-B) = -sinB

代入和角公式即可轻松得到减法公式。例如：

cos(A-B) = cosA·cos(-B) - sinA·sin(-B) = cosA·cosB + sinA·sinB

高效记忆技巧

很多同学在考试时容易混淆正余弦公式的符号。以下提供几种实用的记忆策略：

口诀：“余余正正，加减相反”

解释：

“余余正正”：cos(A±B) 展开后是 cosA·cosB ± sinA·sinB（前两项是余弦乘余弦，后两项是正弦乘正弦）；sin(A±B) 展开后是 sinA·cosB ± cosA·sinB（正弦乘余弦，余弦乘正弦）。
“加减相反”：这是最关键的一点。
对于 cos：如果是加号 (A+B)，中间是减号；如果是减号 (A-B)，中间是加号。
对于 sin：如果是加号 (A+B)，中间是加号；如果是减号 (A-B)，中间是减号。

对称性与反对称性

从函数的奇偶性角度理解：

Cosine 是偶函数：cos(A+B) 和 cos(B+A) 应该相等。观察公式 cosA·cosB - sinA·sinB，交换 A 和 B 后结果不变，符合偶函数性质。
Sine 是奇函数：虽然 sin(A+B) 本身不是奇函数，但其结构关于 A,B 对称。sin(A+B) = sinA·cosB + cosA·sinB。如果我们将 B 变为 -B，sin(A-B) = sinA·cosB - cosA·sinB。注意这里第二项变号，是因为 sin(-B) = -sinB。

特殊值验证法

当不确定符号时，代入简单的角度进行验证。例如验证 cos(A+B) 的符号：

设 A = 0, B = 0。则 cos(0+0) = cos(0) = 1。
公式右边：cos0·cos0 - sin0·sin0 = 1·1 - 0·0 = 1。符合。
如果记成加号：cos0·cos0 + sin0·sin0 = 1 + 0 = 1。此时无法区分。
设 A = 90°, B = 90°。则 cos(180°) = -1。
公式右边（减号）：cos90·cos90 - sin90·sin90 = 0·0 - 1·1 = -1。符合。
公式右边（加号）：cos90·cos90 + sin90·sin90 = 0·0 + 1·1 = 1。不符合。
结论：cos(A+B) 中间必须是减号。

典型例题解析

掌握公式后，通过典型例题来巩固应用技巧是至关重要的。以下是几种常见的题型模式。

例1：直接应用公式求值

题目：求 sin(75°) 的值。

解析：

将 75° 拆分为 45° + 30°。

sin(75°) = sin(45° + 30°)
= sin45°·cos30° + cos45°·sin30°
= (√2/2)·(√3/2) + (√2/2)·(1/2)
= (√6 + √2) / 4

例2：已知三角函数值求值

题目：已知 cosα = -3/5，α ∈ (π/2, π)，sinβ = 5/13，β ∈ (0, π/2)，求 cos(α-β)。

解析：

首先确定 sinα 和 cosβ 的值。

因为 α 在第二象限，sinα > 0，所以 sinα = √(1 - (-3/5)²) = 4/5。
因为 β 在第一象限，cosβ > 0，所以 cosβ = √(1 - (5/13)²) = 12/13。

应用公式：

cos(α-β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ
= (-3/5)·(12/13) + (4/5)·(5/13)
= -36/65 + 20/65
= -16/65

例3：化简与证明

题目：化简 sin(x+y)sin(x-y)。

解析：

sin(x+y) = sinx·cosy + cosx·siny
sin(x-y) = sinx·cosy - cosx·siny
原式 = (sinx·cosy + cosx·siny)(sinx·cosy - cosx·siny)
这是一个平方差公式 (a+b)(a-b) = a² - b²
= (sinx·cosy)² - (cosx·siny)²
= sin²x·cos²y - cos²x·sin²y

常见误区与易错点

在考试和日常练习中，学生经常在以下地方出错，请务必注意：

错误类型	错误示例	正确做法	原因分析
线性错误	sin(A+B) = sinA + sinB	必须展开为四项	三角函数不是线性函数，不能直接分配律展开。
符号混淆	cos(A-B) = cosA·cosB - sinA·sinB	cos(A-B) = cosA·cosB + sinA·sinB	余弦的差角公式中间是加号，容易与和角公式记反。
角度未统一	直接代入不同单位的角度	统一为弧度或角度	计算前需检查角度制与弧度制是否一致。
象限判断错误	忽略开方后的正负号	根据象限确定符号	已知 cosα 求 sinα 时，需根据 α 所在象限确定 sinα 的正负。