什么时候用韦达定理？

案例二：解析几何中的“设而不解”

题目：已知直线 y = kx + 1 与椭圆 x²/4 + y² = 1 相交于 A, B 两点，O 为原点。若 OA ⊥ OB，求实数 k 的值。

解析：此题是典型的什么时候用韦达定理的应用场景。若试图解出交点坐标，计算量将呈指数级上升。

步骤 1：联立方程

将 y = kx + 1 代入椭圆方程：

x²/4 + (kx + 1)² = 1

整理得：(1 + 4k²)x² + 8kx = 0 ... 等等，这里需要仔细检查常数项。

修正整理：x² + 4(k²x² + 2kx + 1) = 4

(1 + 4k²)x² + 8kx + 4 - 4 = 0

(1 + 4k²)x² + 8kx = 0

这里发现常数项消掉了，说明直线过定点 (0,1)，且其中一点必然是 (0,1)？不对，直线 y=kx+1 过 (0,1)，而 (0,1) 在椭圆上（0/4 + 1 = 1）。这意味着 A 或 B 必有一个点是 (0,1)。

若 A=(0,1)，则 OA 斜率不存在或垂直于 x 轴？OA 向量是 (0,1)。OB 向量是 (x₂, y₂)。OA⊥OB ⇒ 0x₂ + 1y₂ = 0 ⇒ y₂ = 0。

即 B 点在 x 轴上。代入椭圆方程 x²/4 = 1 ⇒ x = ±2。

所以 B 点为 (2,0) 或 (-2,0)。

将 B(2,0) 代入直线 y=kx+1：0 = 2k + 1 ⇒ k = -1/2。

将 B(-2,0) 代入直线 y=kx+1：0 = -2k + 1 ⇒ k = 1/2。

反思：虽然此题因特殊位置简化了，但若直线不过椭圆上的特殊点，常规做法如下：

设 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)。联立后得 Ax²+Bx+C=0。

利用韦达定理：x₁+x₂ = -B/A, x₁x₂ = C/A。

由 OA⊥OB ⇒ x₁x₂ + y₁y₂ = 0。

y₁y₂ = (kx₁+1)(kx₂+1) = k²x₁x₂ + k(x₁+x₂) + 1。

代入得：x₁x₂ + k²x₁x₂ + k(x₁+x₂) + 1 = 0。

(1+k²)x₁x₂ + k(x₁+x₂) + 1 = 0。

最后将韦达定理的结果代入，解出 k。这就是什么时候用韦达定理的标准范式。

案例三：竞赛思维与高次方程

题目：已知 α, β 是方程 x³ - 3x² + 2x - 1 = 0 的三个根中的两个（假设第三个根为 γ），求 α²β + αβ² 的值。

解析：这涉及到韦达定理在高次方程中的推广（牛顿和公式的变体）。

对于三次方程 ax³+bx²+cx+d=0，根为 x₁, x₂, x₃：

x₁+x₂+x₃ = -b/a

x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = c/a

x₁x₂x₃ = -d/a

本题中，α, β 是其中的两个根。所求式子 α²β + αβ² = αβ(α+β)。

我们需要知道 αβ 和 α+β。由于有三个根，直接求较难。但我们可以利用对称性。

设三个根为 x₁, x₂, x₃。不妨设 α=x₁, β=x₂。

则 x₁+x₂ = -3 - x₃

x₁x₂ = (2 - x₃(x₁+x₂)) = ... 这种思路太绕。

更优解法：利用 Vieta 的轮换对称性。

所求式 S = x₁x₂(x₁+x₂)。

我们知道 x₁+x₂+x₃ = 3, x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁ = 2, x₁x₂x₃ = 1。

注意到 x₁x₂(x₁+x₂) = x₁x₂(3 - x₃) = 3x₁x₂ - x₁x₂x₃ = 3x₁x₂ - 1。

问题转化为求 x₁x₂。但这依赖于具体哪个根被选为 x₃。

实际上，题目可能隐含了对称性，或者需要分情况讨论。若题目意指“任意两个根”，则结果可能不唯一。若题目是“求所有可能的值”，则需分别令 x₃ 为三个根之一。

这展示了什么时候用韦达定理在竞赛题中的灵活性：不仅要会算，还要会观察结构，利用整体代换。