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在平面几何中，圆的切割线定理（Tangent-Secant Theorem）是描述圆外一点引出的切线与割线之间数量关系的重要定理。它是“圆幂定理”家族中的核心成员之一，与相交弦定理、割线定理共同构成了处理圆中线段比例问题的完整体系。
如果从圆外一点 P 引出一条切线 PT（T 为切点）和一条割线 PAB（A、B 为割线与圆的交点），那么：
PT² = PA · PB
其中，PT 是切线长，PA 是割线在圆外的部分（较短线段），PB 是割线的全长（较长线段）。
理解定理的来龙去脉比死记硬背公式更重要。切割线定理的本质源于相似三角形的性质。我们将通过经典的几何构造法进行严谨推导。
为了证明 PT² = PA · PB，我们需要构造一对相似三角形。连接 TA 和 TB。
此时，我们得到了两个潜在的相似三角形：△PTA 和 △PBT。
由 △PTA ∽ △PBT 可得对应边成比例：
PT / PB = PA / PT
交叉相乘，即刻得到：
PT × PT = PA × PB ⇒ PT² = PA · PB
证毕。此过程不仅证明了定理，还揭示了其与相似三角形的深刻联系。
在实际考试或竞赛中，切割线定理往往不是单独出现的，它常与勾股定理、三角函数或相似三角形综合考察。以下整理了三种高频考型。
例题： 如图，PA 是 ⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是割线，交 ⊙O 于 B、C 两点。已知 PA = 6，PB = 4，求 BC 的长度。
解析：
答案： BC 的长度为 5。
💡 技巧提示：此类题目关键在于分清“圆外部分”和“全长”。很多同学容易误将 BC 当作 PB 代入公式，务必注意字母顺序。
例题： 已知 PT 切 ⊙O 于 T，割线 PAB 交 ⊙O 于 A、B。求证：PA/PB = AT/BT。
解析：
这道题需要逆向思维。虽然我们知道 PT² = PA·PB，但要证明 PA/PB = AT/BT，我们需要寻找新的相似三角形。
由之前的证明可知 △PTA ∽ △PBT。根据相似三角形对应边成比例：
PA / PT = AT / BT = PT / PB
取第一组和第三组比例：PA / PT = PT / PB （这是切割线定理本身）。
取第一组和第二组比例：PA / PT = AT / BT。
这似乎不能直接得到 PA/PB。让我们重新审视目标：PA/PB = AT/BT。
实际上，更直接的思路是利用面积法或正弦定理，但在初中几何中，通常利用 △PAT ∽ △PTB 的对应边关系：
由 △PAT ∽ △PTB 得：PA/PT = AT/TB = PT/PB。
这里有个陷阱，题目如果是求证 PA/PB = AT/BT，通常需要额外的条件或者题目表述为证明 PA·PB = PT² 的变体。若题目确为求证 PA/PB = AT/BT，则需结合 △PAT ∽ △PTB 的比例式：
PA/PT = AT/TB ⇒ PA·TB = PT·AT。
若题目意图是证明 PA/PB = (AT/BT)² 或其他形式，请根据具体图形调整。此处假设题目为经典变式：证明 PA/PB = (AT/BT)² 是不成立的，正确的是 PA/PB = (AT/TB)² 仅在特定角度下成立。
修正后的标准结论： 由 △PAT ∽ △PTB，我们有 PA/PT = AT/TB 和 PT/PB = AT/TB。两式相乘得 PA/PB = (AT/TB)²。这就是切割线定理在比例上的延伸应用。
背景： 当点 P 在直线上运动时，切线长 PT 和割线长度都在变化，但它们的乘积关系始终遵循圆幂定理。
思考： 若点 P 向圆靠近，PT 变小，同时 PA 和 PB 也会变小，但 PT² 始终等于 PA·PB。这种不变性是解决“最值问题”的关键。
应用实例： 已知圆半径 r=5，点 P 到圆心 O 的距离 d=13。求过 P 的最短割线被圆截得的弦长。
解：最短割线垂直于 OP。此时利用切割线定理求出 PT = √(13²-5²)=12。设弦长为 L，半弦长为 x。由垂径定理和勾股定理可解。虽然此题主要用勾股定理，但切割线定理提供了另一种视角：PT² = PA·PB。当割线垂直 OP 时，PA=PB? 不，此时 A、B 关于 OP 对称，PA=PB 不成立，而是 PA=PB 仅在 P 在无穷远时近似。此处应强调：最短割线对应的弦长计算通常结合垂径定理，但切割线定理用于验证 PT 长度。
很多同学在复习时容易混淆这三个定理。为了彻底理清思路，我们通过下表进行深度对比。
| 定理名称 | 图形特征 | 核心公式 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| 切割线定理 | 1 条切线 + 1 条割线 | PT² = PA · PB | 涉及切线长与割线全长的计算 |
| 切线长定理 | 2 条切线 | PA = PB, ∠APO = ∠BPO | 涉及切线长度相等、角平分线、四边形内切圆 |
| 割线定理 | 2 条割线 | PA · PB = PC · PD | 无切线，仅涉及两条割线的乘积关系 |
| 相交弦定理 | 2 条弦交于圆内 | PA · PB = PC · PD | 交点在圆内部 |
“切线平方等于割线，内外相乘要记清。
两切相等角平分，两割相乘圆内同。”
切线长定理关注的是从圆外一点引出的两条切线的长度相等（PA=PB）以及圆心与该点连线平分夹角；而切割线定理关注的是切线与割线之间的数量关系（切线长的平方等于割线全长与圆外部分之积）。两者常结合使用，但侧重点不同。
可以。这属于圆幂定理的一部分。对于同一个圆外点，任意一条割线的全长与圆外部分的乘积是一个定值（即该点的幂），这个定值也等于过该点的切线长的平方。因此，多条割线之间满足 PA·PB = PC·PD = PT²。
当然成立。当割线经过圆心时，它就是直径所在的直线。设圆半径为 r，P 到圆心距离为 d。则 PA = d-r，PB = d+r。公式变为 PT² = (d-r)(d+r) = d² - r²。这正是勾股定理在直角三角形 OPT 中的体现（OT⊥PT，OP² = OT² + PT² ⇒ d² = r² + PT²）。