在高等数学与考研数学的复习体系中，极值的第二判定定理（又称二阶导数判别法）是求解函数极值最高效、最常用的工具之一。相较于第一判定定理需要判断导数在驻点左右两侧的符号变化，第二判定定理通过计算二阶导数在驻点处的值，直接通过正负号判定极值类型，极大地简化了计算过程。
设函数 f(x) 在点 x₀ 处具有二阶导数，且满足：
f'(x₀) = 0 （驻点条件）f''(x₀) ≠ 0
f''(x₀) < 0，则 f(x) 在 x₀ 处取得极大值。f''(x₀) > 0，则 f(x) 在 x₀ 处取得极小值。注：若 f''(x₀) = 0，则该定理失效，需使用第一判定定理或高阶导数判别法。
为了在考试或实际应用中准确无误地使用极值的第二判定定理，建议遵循以下标准化流程：
任何极值讨论的前提是函数在该点有定义。务必先求出函数的定义域，排除不在定义域内的点。
计算 f'(x)，解方程 f'(x) = 0，找出所有实数根。这些根称为驻点（Stationary Points）。同时，也要检查导数不存在的点（虽然第二判定定理主要针对可导点，但极值点可能包含不可导点）。
对 f'(x) 求导，得到 f''(x)。这一步是第二判定定理的核心。
将第二步求得的每个驻点 x₀ 代入 f''(x) 中：
理论必须结合实践。以下选取三个不同难度的典型例题，展示极值的第二判定定理的具体应用。
f(x) = x³ - 3x² + 2 的极值f'(x) = 3x² - 6x3x² - 6x = 0 ➡️ 3x(x - 2) = 0。解得 x₁ = 0, x₂ = 2。f''(x) = 6x - 6x = 0 时，f''(0) = -6 < 0，故 x=0 为极大值点，极大值为 f(0)=2。x = 2 时，f''(2) = 12 - 6 = 6 > 0，故 x=2 为极小值点，极小值为 f(2) = 8 - 12 + 2 = -2。f(x) = sin(x) + cos(x) 在 [0, 2π] 上的极值f'(x) = cos(x) - sin(x)cos(x) - sin(x) = 0 ➡️ tan(x) = 1。在 [0, 2π] 内，x = π/4 或 x = 5π/4。f''(x) = -sin(x) - cos(x)f''(π/4) = -√2/2 - √2/2 = -√2 < 0 ➡️ 极大值，值为 √2。f''(5π/4) = -(-√2/2) - (-√2/2) = √2 > 0 ➡️ 极小值，值为 -√2。f(x) = x⁴此题旨在展示极值的第二判定定理失效的情况。
f'(x) = 4x³4x³ = 0 ➡️ x = 0f''(x) = 12x²f''(0) = 0。此时极值的第二判定定理失效。x < 0 时 f'(x) < 0；当 x > 0 时 f'(x) > 0。左减右增，故 x=0 为极小值点。许多同学容易将 f(x)=0 的点当作极值点。请记住，极值点关注的是函数图像的局部高低，即 f'(x)=0 且两侧单调性改变，而不是函数值是否为0。
在求导前务必确认定义域。例如 f(x) = x^(2/3)，在 x=0 处导数不存在，虽然它是极小值点，但不能直接用第二判定定理（因为定理前提是二阶可导），需结合图形或第一判定定理。
这是最严重的错误。一旦算出 f''(x₀) = 0，必须立即停止使用第二判定定理。此时可能是拐点（如 y=x³ 在 x=0），也可能是极值点（如 y=x⁴ 在 x=0）。切勿主观臆断。
局限性在于当二阶导数为0时，该定理失效。此时函数可能是极值点，也可能是拐点，必须回归到极值的第一判定定理（通过一阶导数左右符号变化）或更高阶导数进行判断。
从几何意义上讲，二阶导数大于0意味着函数图像在该点附近是凹向上的（Convex）。想象一个碗的形状，最低点即为极小值。从物理意义上讲，加速度（二阶导）为正，速度（一阶导）正在增加，若此时速度为0，则随后速度变正，物体开始远离，故该点为谷底。
首先检查是否计算错误。若确认无误，则放弃第二判定定理。方法一：使用第一判定定理，列表分析 f'(x) 在 x₀ 左右的正负号。方法二：若函数足够光滑，可使用泰勒公式展开到更高阶，观察第一个非零高阶导数的阶数（偶数阶有极值，奇数阶无）。