Wallis积分公式 | 数学笔记与解析
在高等数学、数学分析以及考研数学的复习体系中，Wallis积分公式（又称华里斯公式、沃利斯公式）占据着极其重要的地位。它不仅是计算形如 或 这类定积分的利器，更是连接离散数列与连续函数、推导斯特林公式（Stirling's Formula）的关键纽带。
许多同学在遇到高次三角函数积分时，往往感到头痛，试图通过分部积分法一步步硬算，这不仅耗时且极易出错。掌握Wallis积分公式的核心在于理解其递推关系以及奇偶项的不同表现。本文将为您深度拆解这一公式，从基础定义到复杂变体，提供一份详尽的攻略。
基于上述递推公式，我们可以得到Wallis积分公式的具体展开形式：
最终结果包含 ：
最终结果为纯有理数：
理解Wallis积分公式的来源，比死记硬背更为重要。其核心推导依赖于分部积分法（Integration by Parts）。设 。
我们将 拆分为 ：
利用公式 ，设 ，：
由于边界项 在 和 处均为0（当 时），因此边界项消失。
利用 进行代换：
注意到积分项正是 和 ，于是：
至此，我们完成了Wallis积分公式递推关系的证明。基础情形为 和 。
掌握Wallis积分公式后，我们可以快速解决各类看似复杂的定积分问题。以下是几种典型场景：
题目：计算 。
解析：
此处 为偶数。根据Wallis积分公式：
如果采用常规的分部积分法，需要计算两次，而使用公式仅需一步乘法，极大提高了效率。
题目：计算 。
解析：
注意积分区间是 而非 。利用 在 关于 对称的性质：
现在括号内部分 为奇数，直接套用Wallis积分公式：
题目：求 。
解析：
由于在 上 ，故 。积分后得：
利用Wallis积分公式的递推关系 ，通过夹逼定理可知该极限为1。这也是推导斯特林公式的重要一步。
Wallis积分公式并非孤立存在，它是Beta函数（函数）在特定参数下的特例。理解这种推广有助于解决更一般的积分问题。
考虑积分 。利用Wallis积分公式的思想，可以推广为：
其中 当 均为偶数时；否则 。双阶乘符号 表示奇数或偶数连乘。
若积分区间扩大，需利用函数的奇偶性和周期性。例如，，当 为奇数时为0；当 为偶数时，等于 倍的 上的积分。
在数学分析的高阶应用中，Wallis积分公式的结果可以用 Gamma 函数 表示：
当 时，即可还原出Wallis积分公式的结果。
分部积分法是一种通用的积分技巧，适用于多种函数形式。而Wallis积分公式是专门针对三角函数幂次 或 在特定区间 上积分的结论性公式。它是通过分部积分法推导出来的，使用时可以直接套用，无需每次重新推导，能显著提高解题速度。
这取决于递推的终止项。当 为偶数时，递推最终会终止于 ，因此结果中含有 。当 为奇数时，递推最终会终止于 ，因此结果是纯有理数。
如果区间是 ，利用 的对称性，结果通常是 区间的2倍。如果区间是 且被积函数是偶函数（如 ），同样利用对称性。如果被积函数是奇函数（如 为奇数），在对称区间上积分为0。
不可以直接使用。Wallis公式严格适用于 或 的幂次在 上的积分。对于 ，通常需要使用递推公式 来求解，或者通过换元法转化为其他形式。
| n (幂次) | 奇/偶 | 积分值 | 记忆口诀 |
|---|---|---|---|
| 0 | 偶 | 基础偶 | |
| 1 | 奇 | 基础奇 | |
| 2 | 偶 | 1/2 派 | |
| 3 | 奇 | 2/3 | |
| 4 | 偶 | 3/8 派 | |
| 5 | 奇 | 8/15 |