在物理学中，Virial定理（Virial Theorem，又译位力定理）是一个极其重要且优美的定理，它建立了系统中粒子的平均动能与平均势能之间的定量关系。简单来说，它告诉我们：在一个稳定的、自引力的系统中，系统的总动能与总势能之间存在一个固定的比例关系。
对于由引力主导的稳定系统（如恒星、星系、星系团），Virial定理通常表述为：
2⟨T⟩ + ⟨V⟩ = 0其中：
由此可推导出：⟨T⟩ = -1/2 ⟨V⟩，即动能的大小是势能大小的一半。这意味着系统的总能量 E = ⟨T⟩ + ⟨V⟩ = 1/2 ⟨V⟩，总能量为负值，表明系统是束缚的。
这个定理由鲁道夫·克劳修斯（Rudolf Clausius）于1870年首次提出，最初用于气体动力学理论，后来被广泛应用于天体物理、量子力学和统计力学等领域。它的普适性在于，只要系统处于稳态（时间平均下几何矩量的二阶时间导数为零），无论系统内部的具体相互作用细节如何，该关系都成立。
考虑一个由 N 个粒子组成的系统，第 i 个粒子的质量为 m_i，位置矢量为 r_i，受力为 F_i。定义“Virial”量为：
G = Σ_i (p_i · r_i)对时间求导：
dG/dt = Σ_i (dp_i/dt · r_i + p_i · dr_i/dt) = Σ_i (F_i · r_i + 2T_i)对一个长周期时间 τ 取平均：
⟨dG/dt⟩ = (G(τ) - G(0)) / τ如果系统是束缚的（bound system），粒子的位置和动量是有界的，当 τ → ∞ 时，⟨dG/dt⟩ → 0。因此：
2⟨T⟩ + Σ_i ⟨F_i · r_i⟩ = 0这里的 Σ_i ⟨F_i · r_i⟩ 被称为“力Virial”。如果力是由势能 V 产生的（F = -∇V），且势能是 r 的 k 次齐次函数（如引力势能 V ∝ 1/r，即 k = -1），则根据欧拉齐次函数定理：
Σ_i (F_i · r_i) = -k V对于引力，k = -1，所以：
2⟨T⟩ - (-1)⟨V⟩ = 0 → 2⟨T⟩ + ⟨V⟩ = 0想象一个恒星。引力试图将恒星坍缩，而热压力（源于粒子热运动动能）试图将其膨胀。Virial定理揭示了这种平衡的本质：恒星内部的粒子热运动动能必须恰好抵消引力势能的一半，才能维持稳定。如果动能不足，恒星将坍缩；如果动能过大，恒星将膨胀甚至解体。
天体物理是Virial定理最辉煌的应用舞台。从单颗恒星到巨大的星系团，该定理提供了无需直接测量质量即可估算天体质量的方法。
对于一颗稳定的恒星，Virial定理解释了为什么恒星在燃烧燃料时会收缩并升温。
弗里茨·兹威基（Fritz Zwicky）在1933年研究后发座星系团时，首次应用Virial定理估算其质量。
他观测到星系的速度弥散度很大，根据 Virial定理，要维持如此高速运动的星系不飞散，星系团必须拥有巨大的质量。他估算的质量比可见物质（星系和气体）的质量大400倍，从而首次提出了暗物质的存在。
| 系统类型 | 主导力 | Virial 关系 | 应用实例 |
|---|---|---|---|
| 恒星 | 引力 vs 热压力 | 2T + V = 0 | 估算主序星质量-半径关系 |
| 星系 | 引力 vs 恒星运动 | 2T + V = 0 | 银河系质量估算 |
| 星系团 | 引力 vs 星系运动 | 2T + V = 0 | 暗物质丰度测定 |
| 分子云 | 引力 vs 湍流/磁场 | 2T + V + M + P = 0 | 恒星形成条件判断 |
在星际分子云中，Virial定理用于判断云团是否会坍缩形成恒星。
定义无量纲参数 α = 2T / |V|：
这一分析导出了金斯质量（Jeans Mass），即发生引力坍缩所需的最小质量。
在统计力学中，Virial定理与能量均分定理紧密相关。对于理想气体，粒子间无相互作用势能（除了碰撞瞬间），因此 V = 0。此时Virial定理退化为：
2⟨T⟩ = 0 （对于无相互作用粒子，力Virial项为零）更准确地说，对于实际气体，Virial定理导出了Virial状态方程：
PV = NkT + (1/3) Σ ⟨F_ij · r_ij⟩其中 P 是压强，V 是体积，N 是粒子数，k 是玻尔兹曼常数，T 是温度。第二项修正了分子间相互作用力对压强的贡献。这解释了为什么实际气体在高压下偏离理想气体定律。
范德瓦尔斯方程中的修正项 a/V² 就源于分子间的吸引力，这可以通过Virial定理中的势能项进行微观推导。这表明Virial定理不仅是宏观定理，也是连接微观相互作用与宏观热力学性质的桥梁。
Virial定理在量子力学中同样成立，且形式更为简洁。对于定态波函数 ψ，若哈密顿量 H = T + V，其中 V 是 r 的 k 次齐次函数，则：
2⟨T⟩ = k⟨V⟩对于氢原子，电子在质子的库仑势场中运动，V ∝ 1/r，即 k = -1。因此：
2⟨T⟩ = -⟨V⟩ → ⟨T⟩ = -1/2 ⟨V⟩这与经典Virial定理完全一致。总能量 E = ⟨T⟩ + ⟨V⟩ = 1/2 ⟨V⟩。由于基态能量 E₁ = -13.6 eV，我们可以直接得出：
这一结果无需解薛定谔方程即可得到，展示了Virial定理的强大威力。它常用于验证量子化学计算中波函数的准确性。
如前所述，Virial定理是暗物质研究的历史起点。兹威基的观测结果表明，星系团的质量远大于可见物质质量。这一结论后来被大量独立观测所证实，包括：
今天，Virial定理仍然是宇宙学中测量大尺度结构质量的标准工具之一。
克劳修斯在研究气体动力学理论时首次提出Virial概念，用于解释气体压强与分子运动的关系。
弗里茨·兹威基应用Virial定理到后发座星系团，发现质量-光度比异常，提出“暗物质”假说。
苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡利用Virial定理分析恒星演化，预言了白矮星的质量极限（钱德拉塞卡极限）。
量子力学中的Virial定理被严格证明，并成为量子化学计算的重要校验工具。
在N体模拟中，Virial定理用于初始化星系团模型，并用于分析模拟结果的收敛性。
适用条件包括：1) 系统必须是束缚的（bound system），即粒子不能逃逸到无穷远；2) 系统必须处于稳态或准稳态，即时间平均下几何矩量的二阶时间导数为零；3) 力必须是保守力或平均而言表现为保守力。
可以。只要系统受到的力是齐次函数形式的保守力，Virial定理就适用。例如，在等离子体物理中，库仑力也是 1/r² 力，因此Virial定理同样适用。在分子动力学模拟中，它用于校验模拟的稳定性。
根据Virial定理，当恒星因辐射损失能量时，总能量 E 减小（变得更负）。由于 E = -⟨T⟩，动能 ⟨T⟩ 必须增加，即温度升高。这就是恒星负热容的来源。
间接相关。虽然Virial定理本身不涉及角动量，但在形成恒星或星系的过程中，角动量守恒决定了系统的最终形态（如盘状结构）。Virial定理描述的是能量平衡，而角动量守恒描述的是旋转平衡。
Virial定理是物理学中一个简洁而深刻的定理，它跨越了经典力学、统计力学、量子力学和天体物理学等多个领域。从解释恒星为何发光，到揭示宇宙中暗物质的存在，Virial定理为我们理解宇宙的结构和演化提供了不可或缺的工具。掌握Virial定理，不仅是学习物理学的关键一步，也是深入理解宇宙运行规律的重要基石。