经典几何构造：寻找相似
这是最符合中学几何教学体系的证明方法，也是最具美感的一种。设圆内接四边形为 ABCD，我们需要证明：AB·CD + BC·DA = AC·BD。
- 构造辅助点：在对角线 BD 上取一点 E，使得 ∠BAE = ∠CAD。
- 第一组相似：由于 ∠ABE = ∠ACD（同弧所对圆周角相等），结合构造条件，可得 △ABE ∽ △ACD。
- 比例关系：由相似得 AB/AC = BE/CD，即 AB·CD = AC·BE。
- 第二组相似：观察剩余部分，由于 ∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = ∠BAD - ∠BAE = ∠DAE，且 ∠ACB = ∠ADB，故 △ABC ∽ △AED。
- 最终推导：得 BC/ED = AC/AD，即 BC·AD = AC·ED。
- 结论：两式相加，AB·CD + BC·AD = AC·(BE + ED) = AC·BD。证毕。
几何关系图示：
A
/ \n B---C
/
D
(注：实际应用中需严格作图，E 点在 BD 上)
三角函数视角：正弦定理的延伸
对于熟悉三角函数的学习者，这种方法更为直观快捷。设圆的半径为 R。
根据正弦定理，圆内接四边形的边长可表示为对应圆心角的正弦值乘以直径。设各边对应的圆心角分别为 α, β, γ, δ（注意这里指边所对的圆周角相关参数，更严谨的是用弧度制下的弦长公式）。
令 AB = 2R sin(θ₁), BC = 2R sin(θ₂), CD = 2R sin(θ₃), DA = 2R sin(θ₄)。
对角线 AC 对应角 (θ₁+θ₂)，BD 对应角 (θ₂+θ₃)（此处简化表达，具体角度需根据顶点顺序调整）。
展开 AC·BD：
AC · BD = (2R sin(θ₁+θ₂)) · (2R sin(θ₂+θ₃))
= 4R² [sinθ₁cosθ₂ + cosθ₁sinθ₂] · [sinθ₂cosθ₃ + cosθ₂sinθ₃]经过繁琐但有趣的三角恒等变换（利用积化和差公式），最终可以化简为 AB·CD + BC·DA。这种方法虽然计算量大，但能深刻揭示边长与角度之间的内在联系，是解决托勒密定理动态问题的有力工具。
高阶视野：反演变换的魔力
进入竞赛数学的深水区，反演变换（Inversion）是解决此类问题的杀手锏。以点 A 为反演中心，适当半径进行反演。
在反演下，过反演中心的圆变为直线，不过反演中心的圆仍为圆。若选择 A 为反演中心，则圆内接四边形 ABCD 的外接圆变为直线 B'C'D'（假设 A 不在直线上，实际上反演后 B', C', D' 共线）。
根据反演的距离公式 P'Q' = k·PQ / (AP·AQ)，可以将原图中的乘积关系转化为新图中的线段比例关系。在直线上的三点 B', C', D' 满足 B'D' = B'C' + C'D'，反演回去即可直接导出托勒密定理。这种方法展示了数学结构的高度对称性，是赵观察强烈推荐进阶读者掌握的技巧。